Симметрические функции

Симметри́ческие функции

Функции нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных, например или . Особое значение в алгебре имеют симметрические многочлены (с. м.) и среди них — элементарные симметрические многочлены (э. с. м.) — функции

, , , …, ,

где суммы распространены на комбинации неравных между собой чисел k, l,...; они имеют первую степень относительно каждого из переменных. Согласно формулам Виета, x₁, x₂,..., x_n являются корнями уравнения:

xⁿ — f₁x^n-1 + f₂x^n-2 - ··· + (- 1) ⁿf_n = 0.

Согласно основной теореме теории С. ф., любой с. м. представляется как многочлен от э. с. м., и притом только единственным образом: F (x₁, x₂.,..., x_n) = G (f₁, f₂,..., f_n); если все коэффициенты в F целые, то и коэффициенты в G целые. Иными словами, всякий с. м. от корней уравнения выражается целым рациональным образом через его коэффициенты; например,

.

Другим важным классом С. ф. являются степенные суммы

.

Они связаны с э. с. м. формулами Ньютона

s_i — f₁s_l-1 + f₂s_l-2 + ··· + (— 1) ^lf_l = 0, ,

и

s_n+l — f₁s_n+l-1 + ··· +(-1) ⁿ f_ns_l = 0,

,

позволяющими последовательно выражать f_k через s_rn и обратно.

Функция называется кососимметрической, или знакопеременной, если она не изменяется при чётных перестановках x₁, x₂,..., x_n и меняет знак при нечётных перестановках. Такие функции рационально выражаются через f₁, f₂,..., f_n и разностное произведение (см. Дискриминант) D = П_к<1 (x_k — x_l), квадрат которого является С. ф. и потому рационально выражается через f₁, f₂,..., f_n.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.