Рекуррентная формула

Рекурре́нтная формула

(от лат. recurrens, родительный падеж recurrentis — возвращающийся)

формула приведения, формула, сводящая вычисление n-го члена какой-либо последовательности (чаще всего числовой) к вычислению нескольких предыдущих её членов. Обычно эти члены находятся в рассматриваемой последовательности «недалеко» от её n-го члена, число их от n не зависит, а n-й член выражается через них достаточно просто. Однако возможны Р. ф. и более сложной структуры. Общая проблематика рекуррентных вычислений является предметом теории рекурсивных функций (См. Рекурсивные функции).

Примеры. 1) Последовательность φ_n — т. н. чисел Фибоначчи — задаётся формулами:

φ₀ = 0, φ₁ = 1, φ_n+2 = φ_n+1 + φ_n (n > 0)

Последняя из них является Р. ф.; она позволяет вычислить φ₂, φ₃ и дальнейшие члены этой последовательности.

2) Пусть

Нетрудно показать, что для n ≥ 2 выполняется соотношение

.

Это — Р. ф., сводящая вычисление I_n к вычислению /₀ или l₁ в зависимости от чётности n.

Р. ф. обычно даёт удобную вычислительную схему для нахождения членов последовательности друг за другом. Однако иногда, исходя из Р. ф., стремятся получить «явное» выражение для n-го члена последовательности, описываемой этой Р. ф. Так, в случае чисел Фибоначчи

.