Резольвента

Резольве́нта

(лат. resolvens, родительный падеж resolventis — развязывающий, решающий, от resolvo — развязываю, решаю)

(математическая), разрешающее уравнение, разрешающая функция (ядро) или разрешающие операторы.

В алгебре термин «Р.» употребляется в нескольких смыслах. Так, под Р. алгебраического уравнения f(x) = 0 степени n понимают такое алгебраическое уравнение g(x) = 0 с коэффициентами, рационально зависящими от коэффициентов f(x), что знание корней этого уравнения позволяет найти корни данного уравнения f(x) = 0 в результате решения более простых уравнений, степеней не больших n. Например, уравнение

является одной из (кубической) Р. уравнения четвёртой степени

x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄ = 0. (1)

Если υ₁, υ₂, υ₃ — корни этой Р., то корни x₁, x₂, x₃, x₄ уравнения (1) могут быть найдены решением квадратных уравнений σ² — u_kσ + a⁴ = 0, k = 1, 2, 3. Именно, если ξ_k, η_k — корни этих квадратных уравнений, то x₁x₂ = ξ₁, x₃x₄ = η₁, x₁x₃ = ξ₂, x₂x₄ = η₂, x₁x₄ = ξ₃, x₂x₃ = η₃ и x₁² = ξ₁ξ₂/η₃ и т. д. Резольвентой Галуа уравнения f(x) = 0 называется такое неприводимое над данным полем алгебраическое уравнение g(x) = 0 (см. Галуа теория), что в результате присоединения одного из его корней к этому полю получается поле, содержащее все корни уравнения f(x) = 0.

В несколько ином смысле термин «Р.» употребляется в т. н. проблеме резольвент Гильберта и Чеботарева.

В теории интегральных уравнений (См. Интегральные уравнения) под Р. (разрешающим ядром) уравнения

(2)

понимают функцию Г(х, t, λ) переменных s, t и параметра λ, при помощи которой решение уравнения (2) представляют в виде

,

если λ не есть собственное значение уравнения (2), например для ядра К(s, t) = s + t резольвентой является функция

Γ (s, t; λ) =

В теории линейных операторов (См. Линейный оператор) под Р. оператора А понимают семейство операторов R_λ = (А — λE)^-1, где комплексный параметр λ принимает любые значения, не принадлежащие спектру оператора А.