Последовательных приближении метод

После́довательных приближе́нии ме́тод

Метод решения математических задач при помощи такой последовательности приближении, которая сходится к решению и строится рекуррентно (т. е. каждое новое приближение вычисляют, исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в достаточной степени произвольно). П. п. м. применяется для приближённого нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений, для доказательства существования решения и приближённого нахождения решений дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, для качественной характеристики решения и в ряде др. математических задач. 1) Для решения уравнения

f (x) = 0 (1)

составляют ему равносильное х = φ(х), обозначив, например, через φ(x) разность х — kf (x) (k — постоянное). Выбрав a₀ — начальное приближение к корню уравнения, составляют последовательность чисел a₀, a₁ = φ(a₀), a₂ = φ(a₁), …, a_n = φ(a_n-1), …; предел а = , если он существует, является корнем уравнения (1), а числа a₀, a₁, a₂,..., a_n,... — приближёнными значениями этого корня. Предел а будет существовать, например, если

(2)

и в качестве начального приближения a₀ взято любое число.

Обычно, когда надо найти приближённое значение корня уравнения, устанавливают достаточно узкий интервал, в котором лежит корень (например, с помощью графических методов); затем подбирают k так, чтобы условие (2) выполнялось на всём интервале; за начальное приближение a₀ выбирают любое число из этого интервала и применяют П. п. м. Практически, после того как два последовательных приближения a_n-1 и a_n совпадут с заданной степенью точности, вычисление прекращают и полагают a_n — а. Пусть дано, например, уравнение f (x) = . Так как , то корень уравнения лежит в интервале . Положив , непосредственной проверкой убеждаемся, что для k = условие (2) выполняется на всём интервале . Выбирем a₀ = и применим П. п. м. к уравнению . Получим a₁ = 0,554, a₂ = 0,570, a₃ = 0,566 (на самом деле корень уравнения с тремя верными десятичными знаками равен a₄ — 0,567).

2) П. п. м. применяют для приближённого решения систем линейных алгебраических уравнений с большим числом неизвестных.

Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:

(3)

Строят ей эквивалентную систему:

(4)

полагая, например,

и, пользуясь рекуррентными формулами:

x_j = c₁₁x_j-1 + c₁₂y_j-1 + c₁₃z_j-1 + d₁

y_j = c₂₁x_j-1 + c₂₂y_j-1 + c₂₃z_j-1 + d₂

z_j = c₃₁x_j-1 + c₃₂y_j-1 + c₃₃z_j-1 + d₃

составляют последовательность (x₀, у₀, z₀), (x₁, у₁, z₁),..., (x_n, y_n, z_n),... Если x_n → α, y_n → β, z_n → γ при неограниченном увеличении n, то тройка чисел х = α, у = β, z = γ будет решением системы (3). Пределы α, β, γ заведомо существуют, каковы бы ни были начальные приближения x₀, у₀, z₀, если, например, в каждом уравнении системы (4) сумма абсолютных величин коэффициентов c_ij меньше единицы.

3) Для того чтобы найти решение у = у (х) дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию у₀ = у (х₀), записывают это уравнение в виде

и, пользуясь рекуррентной формулой

составляют последовательность функций y₁(x), у₂(х),..., y_n (x),... Если она равномерно сходится, то предел её будет искомым решением.

4) Чтобы найти решение первой краевой задачи для уравнения

выбирают произвольную дважды дифференцируемую функцию u₀(x, у) и составляют затем линейное уравнение

.

Пусть u₁ (х, у) — решение первой краевой задачи для уравнения (5); считая u₁ первым приближением, составляют уравнения типа (5) для последующих приближений. Полученная последовательность {u_n (x, у)} при некоторых предположениях сходится и даёт решение задачи.

О применимости П. п. м. см. статью Сжатых отображений принцип.