Полунепрерывная функция

Полунепреры́вная функция

Понятие математического анализа. П. ф. снизу (сверху) в точке х₀ называется функция, для которой f (x) = f (x₀) [соответственно f (x) = f (x₀)]. Иначе, функция полунепрерывна снизу в точке x₀, если для всякого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что из |x — x₀| < δ вытекает f (x₀) -— f (x) /i> ε (не по абсолютной величине!). Функция, полунепрерывная и снизу и сверху, непрерывна в обычном смысле. Ряд свойств П. ф. аналогичен свойствам непрерывных функций (см. <<Непрерывная функция). Например: 1) если f (x) и g (x) П. ф. снизу, то и их сумма и произведение П. ф. снизу; 2) П. ф. снизу на отрезке достигает своего наименьшего значения. Для рядов П. ф. снизу верно, например, следующее утверждение: если u_n ≥ 0 и все u_n (x) П. ф. снизу, то сумма ряда ∑^∞_n=1u_n (x) П. ф. снизу. П. ф. принадлежат к функциям первого класса по Бэра классификации (См. Бэра классификация).