Повторного логарифма закон

Повто́рного логарифма зако́н

Одна из предельных теорем теории вероятностей, близкая по смыслу к закону больших чисел (см. Больших чисел закон). П. л. з. указывает при определённых условиях точный порядок роста сумм независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых. Пусть, например, случайные величины X₁, X₂,..., X_n,... независимы и каждая из них принимает два значения: +1 или —1, каждое с вероятностью, равной ¹/₂, и пусть s_n = X₁ +... + X_n. Тогда с вероятностью, равной 1, при любом δ > 0:

1) при всех n, бо́льших некоторого (зависящего от случая) номера N:

s_n < (1 + δ)

2) для бесконечной последовательности номеров n:

s_n > (1 — δ) .

Название «П. л. з.» объясняется наличием в вышеприведённых выражениях множителя In In n. П. л. з. возник из задач т. н. метрической теории чисел (см. Чисел теория). Первый результат, относящийся к П. л. з., был установлен в 1924 А. Я. Хинчиным. Дальнейшие существенные продвижения в изучении условий приложимости П. л. з. связаны с работами А. Н. Колмогорова (1929) и В. Феллера (1943).

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.

Ю. В. Прохоров.