Падение тела

Паде́ние те́ла

Движение тела в поле тяготения Земли с начальной скоростью, равной нулю. П. т. происходит под действием силы тяготения, зависящей от расстояния r до центра Земли, и силы сопротивления среды (воздуха или воды), которая зависит от скорости v движения. На П. т. по отношению к поверхности Земли влияет также её суточное вращение с угловой скоростью ω — 0,0000729 рад/сек.

Если пренебречь несферичностью Земли и влиянием её вращения (ввиду малости ω), а также сопротивлением воздуха, что практически можно делать при П. т. или с очень малой высоты (когда скорость падения мала) или с очень большой высоты (когда основная часть пути проходит в безвоздушном пространстве), то движение центра тяжести падающего тела будет происходить по прямой, направленной к центру Земли. При П. т. с очень малой по сравнению с радиусом Земли R высоты h, отсчитываемой от земной поверхности, зависимостью силы тяготения от r можно пренебречь и считать, что центр тяжести тела движется с постоянным ускорением g₀ (ускорение силы тяготения) и со скоростью, увеличивающейся по закону:

(1)

где х — пройденный путь, отсчитываемый от начального положения. При П. т. с большой высоты h необходимо учитывать зависимость силы тяготения от расстояния r = R + h — х. Ускорение центра тяжести падающего тела изменяется при этом по закону: ω = g₀R²/r², а скорость:

. (2)

При x = h формула (2) даёт скорость в момент падения на Землю, а при h << R переходит в формулу (1).

Основное влияние вращения Земли на П. т. с малой высоты учитывается прибавлением к силе тяготения переносной (центробежной) силы инерции. Сумма этих двух сил даёт направленную по вертикали силу тяжести Р, под действием которой и происходит П. т. При этом ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести) g несколько отличается от g₀ как численно, так и по направлению и зависит от географической широты φ. Величина скорости также определяется формулой (1) с заменой в ней g₀ на g. Дополнительное влияние вращения Земли, учитываемое введением Кориолиса силы (См. Кориолиса сила) инерции, вызывает в первом приближении отклонение падающих тел от вертикали к востоку.

Учёт сопротивления среды существенно изменяет закон П. т. Когда скорость падения не достигает скорости звука (в воздухе практически при υ < 300 м/сек), сила сопротивления F = 0,5 C_xρSυ², где S — площадь миделевого сечения (См. Миделевое сечение), ρ — плотность воздуха, C_x — коэффициент сопротивления, зависящий от формы тела. При таком законе сопротивления, если считать ρ и g постоянными, скорость падения:

где υ_пр = 2P/(c_xρS). Из формулы (3) видно, что с возрастанием х скорость υ стремится к υ_пр, называемой предельной скоростью падения. Когда c_x и S достаточно велики, значение υ становится близким к υ_пр на небольшом начальном участке пути и дальнейшее П. т. происходит с практически постоянной скоростью υ_пр.

С. М. Тарг.