Однородная функция

Одноро́дная функция

Функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая следующему условию: при одновременном умножении всех аргументов функции на один и тот же (произвольный) множитель значение функции умножается на некоторую степень этого множителя, т. е. для О. ф. f (x, y,..., u) при всех значениях х, у,..., u и любом λ должно иметь место равенство:

f (λx, λу,..., λu) = λⁿf (х, y,..., u),

где n — некоторый определённый показатель («показатель однородности», или «измерение О. ф.»). Например, функции

х²— 2у²; (x— y—3z)/z²+xyz²;

суть однородные с измерениями, соответственно, 2, —1, ⁴/₃. Из дифференциальных свойств О. ф. отметим одно (теорема Эйлера), вполне характеризующее О. ф. измерения n, а именно: если в выражении полного дифференциала такой функции f (x, у,..., u) заменить дифференциал каждого независимого переменного самим этим переменным, то получают функцию f (x, у,..., u), умноженную на показатель однородности:

.

О. ф. часто встречаются в геометрических формулах. В соотношении х =f (а, b,..., l), где а, b,..., l — длины отрезков, измеренные одним и тем же произвольным масштабом, правая часть должна быть О. ф. (измерения 1, 2 или 3, смотря по тому, означает ли х длину, площадь или объём). Например, в формуле для объёма

усечённого конуса правая часть — О.ф. h, R и r измерения 3.