Общий интеграл

О́бщий интеграл

Обыкновенного дифференциального уравнения

F (x, у, у',..., y ⁽ⁿ⁾) =0

— соотношение

Φ(х, у, C₁,..., C_n) =0,

содержащее и существенных произвольных постоянных C₁,..., C_n, следствием которого является данное дифференциальное уравнение (см. Дифференциальные уравнения). Иными словами, это уравнение должно представлять собой результат исключения постоянных C₁ (i = 1,..., n) из уравнений:

, (*)

причём эти постоянные существенны в том смысле, что процесс исключения их из системы (*) не может привести к дифференциальному уравнению, отличному от данного. О. и. тесно связан с общим решением (См. Общее решение). Если постоянным C_i, входящим в О. и., дать определённые значения, то получим частый интеграл. Неполное исключение постоянных C_i из системы (*) приводит к промежуточному интегралу

F_k (х, у, у',..., у ^(n-k)), C₁,..., C_k = 0

(где 1 ≤ k ≤ n—1); в частности, при k = 1— к первому интегралу (См. Первый интеграл). Геометрически О. и. представляет n-параметрическое семейство интегральных кривых.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.