Муавра формула

Муавра фо́рмула

Формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме

z = ρ (cos φ + i sin φ);

согласно М. ф., модуль ρ комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент φ умножается на показатель степени

zⁿ = [ρ (cos φ + i sin φ)] ⁿ = ρⁿ (cos nφ + i sin nφ).

М. ф. была найдена А. Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.

М. ф. может быть легко использована для выражения cos nφ и sin nφ через степени cos φ и sin φ; положив в М. ф. ρ = 1 и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим

cos nφ = cosⁿ φ — C_n² cos^n-2 φ sin² φ + C_n⁴ cos^n-4 φ sin⁴ φ -...,

sin nφ = C_n¹ cos^n-1 φ sin φ — C_n³ cos^n-3 φ sin³ φ +...,

где C_n^m = n!/m!(n — m)! — биномиальные коэффициенты (см. Ньютона бином). Обращение М. ф. приводит к формуле для извлечения корня из комплексного числа.