Метрический тензор

Метри́ческий тензор

Совокупность величин, определяющих геометрические свойства пространства (его метрику). В общем случае риманова пространства (См. Риманово пространство) n измерений метрика определяется заданием квадрата расстояния ds² между двумя бесконечно близкими точками (x¹, x²,..., xⁿ) и (x¹ + dx¹, x² + dx²,..., xⁿ + dxⁿ):

где x¹, x²,..., xⁿ — координаты, g_ik — некоторые функции координат. Совокупность величин g_ik образует Тензор второго ранга, который и называется М. т. Этот тензор симметричен, т. е. g_ik = g_ki. Вид компонент М. т. g_ik зависит от выбора системы координат, однако ds² не меняется при переходе от одной координатной системы к другой, т. е. является инвариантом относительно преобразований координат. Если выбором системы координат можно привести М. т. к виду

то пространство является плоским, евклидовым пространством (См. Евклидово пространство) (для трёхмерного пространства ds² = dx² + dy² +dz², где x¹ = х, x² = у, x³ = z — декартовы прямоугольные координаты). Если никаким преобразованием координат нельзя привести М. т. к виду (2), пространство является искривленным и кривизна пространства определяется М. т.

В теории относительности М. т. определяет метрику пространства-времени (См. Метрика пространства-времени).

Лит. см. при статьях Римановы геометрии (См. Риманова геометрия), Относительности теория, Тяготение.

Г. А. Зисман.