Матьё функции

Матьё фу́нкции

Специальные функции, введённые французским математиком Э. Матье (E. Mathieu) в 1868 при решении задач о колебании эллиптической мембраны. М. ф. применяются также при изучении распространения электромагнитных волн в эллиптическом цилиндре, при рассмотрении приливных волн в сосуде, имеющем форму эллиптического цилиндра, и в ряде других вопросов. М. ф. называются чётные или нечётные функции, являющиеся периодическими решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Матьё):

Условие периодичности решения этого уравнения определяет ряд значений λ в зависимости от q. Если q = 0, то λ = n² (n = 1,2,...), и М. ф. в этом случае являются cos nz и sin nz. При q ≠ 0 М. ф., обозначаемые ce_n(z, q), se_n(z, q), представляются в виде

,

,

где a_kⁿ и b_kⁿ зависят от q; ε = 0 при n чётном и ε = 1 при n нечётном.

Лит.: Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, перевод с английского, ч. 2, 2 изд., М., 1963; Мак-Лахлан Н. В., Теория и приложения функций Матье, перевод с английского, М., 1953.