Математическое программирование

Математи́ческое программи́рование

Математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).

М. п. — раздел науки об исследовании операций (см. Операций исследование), охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи М. п. находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования.

Наименование «М. п.» связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.

Математическая формулировка задачи М. п.: минимизировать скалярную функцию φ(x) векторного аргумента х на множестве

X = {x: g_i(x) ≥ 0, h_i(x) = 0, I = 1, 2, ..., k},

где g_i(x) и h_i(x) — также скалярные функции; функцию φ(x) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X — допустимым множеством, решение х* задачи М. п. — оптимальной точкой (вектором).

В М. п. принято выделять следующие разделы. Линейное программирование: целевая функция φ(x) и ограничения g_i(x) и h_i (х) линейны; выпуклое программирование: целевая функция и допустимое множество выпуклы; квадратичное программирование: целевая функция квадратична и выпукла, допустимое множество определяется линейными равенствами и неравенствами; дискретное программирование: решение ищется лишь в дискретных, например целочисленных, точках множества X; стохастическое программирование: в отличие от детерминированных задач, здесь входная информация носит элементы неопределённости; например, в стохастических задачах о минимизации линейной функции

при линейных ограничениях

, i = 1, 2, …, m,

либо все величины c_j, a_ij, b_i, либо часть из них случайны.

Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи — задачи, для которых указанное свойство не выполняется.

В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна — Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x*: для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть

,

X = {x: g_i(x) ≥ 0, i = 1, 2, ..., k},

необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у*₁, у*₂, ..., у*_k), чтобы пара точек х*, у* образовывала седло функции Лагранжа

Последнее означает, что

L(x*, y) ≤ L(x*, y*) ≤ L(x, у*)

для любых х и всех у ≥ 0. Если ограничения g_i(x) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве.

Если функции φ(x) и g_i(x) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку

, j = 1, 2, …, n;

; ; i = 1, 2, …, k;

, y_i ≥ 0, i = 1, 2, …, k.

Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств.

На основе теоремы Куна — Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа.

В М. п. одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке x^k ∈ X выбирается направление спуска s^k, то есть одно из направлений, по которому функция φ(x) убывает, и вычисляется x^k+1 = p(x^k + α_ks^k), где p(x^k + α_ks^k) означает проекцию точки x^k + α_ks^k на множество X:

,

число α_k > 0 выбирается при этом так, чтобы φ(x^{k +1}) < φ(x^k). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда s^k = —grad φ(x^k). В М. п. доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {х^k}, построенная методом проекции градиента, такова, что стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии.

Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач М. п. является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи М. п., связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта.

Важным направлением исследования в М. п. являются проблемы устойчивости. Здесь существ. значение имеет изучение класса устойчивых задач — задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач — так называемому процессу регуляризации.

М. п. как наука сформировалось в 50—70-х годах 20 века. Это обусловлено главным образом развитием электронных вычислительных машин, а следовательно, с возможностью проводить математическую обработку больших потоков информации, и на этой основе решать задачи управления и планирования, где применение математических методов связано в первую очередь с построением математических моделей и соответствующих им экстремальных задач, в том числе задач М. п.

Лит.: Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И., Линейное и выпуклое программирование, 2 изд., М., 1967; Хедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, перевод с английского, М., 1967.

В. Г. Карманов.