Линейная вектор-функция

Лине́йная ве́ктор-функция

Функция f(x) векторного переменного х, обладающая следующими свойствами: 1) f(x + у) = f(x) + f(y), 2) f(λ x) = λ f(x) (λ — число). Л. в.-ф. в n-мерном пространстве вполне определяется значениями, принимаемыми ею для n линейно независимых векторов. Скалярную (принимающую числовые значения) Л. в.-ф. называют также линейным функционалом (См. Линейный функционал); в n-mepном пространстве она выражается линейной формой (См. Линейная форма), f(x) = a₁x₁ + a₂x₂ +... + a_nx_n от координат x₁, x₂,..., x_n вектора х. Примером скалярной Л. в.-ф. является скалярное произведение вектора х и некоторого постоянного вектора а:

f(x) = (а, х),

в пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая скалярная Л. в.-ф. имеет такой вид. Векторная (принимающая векторные значения) Л. в.-ф. определяет линейное или аффинное преобразование пространства и называется также линейным оператором (См. Линейный оператор), или аффинором. Векторная Л. в.-ф. у = f(x) в n-мерном пространстве выражается в координатах формулами:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n,

...

y_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n.

Здесь числа a_ij (i, j = 1, 2,..., n) составляют матрицу векторной Л. в.-ф. Если определить сумму векторных Л. в.-ф. f(x) и g(x) как Л. в.-ф. f(x) + g(x), а произведение тех же функций, как Л. в.-ф. g{f(x)}, то сумме и произведению векторных Л. в.-ф. будут соответствовать сумма и произведение соответствующих матриц. Примером векторной Л. в.-ф. является Л. в.-ф. вида:

f(x) = (A₁, х)a₁ + (А₂, х)a₂ +... + (A_n, х)a_n,

где A₁, A₂, ..., A_n, a₁, a₂, ...a_n — постоянные векторы; в n-мерном пространстве, в котором определено скалярное произведение, всякая векторная Л. в.-ф. может быть представлена в таком виде.

Функцию нескольких векторных переменных, являющуюся Л. в.-ф. относительно каждого своего аргумента, называют полилинейной (билинейной, трилинейной и т. д.) вектор-функцией. Скалярное и векторное произведения двух переменных векторов могут служить примерами, соответственно скалярной и векторной билинейных вектор-функций. Полилинейные вектор-функции приводят к понятию Тензора. О Л. в.-ф. (линейных функционалах и операторах) в бесконечномерном пространстве см. Функциональный анализ.