Коши задача

Коши́ задача

Одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (См. Дифференциальные уравнения), впервые систематически изучавшаяся О. Коши. Заключается в нахождении решения u (x, t); х = (x₁,..., x_n) дифференциального уравнения вида:

, (1)

m₀ < m, m > 0,

удовлетворяющего т. н. начальным условиям.

, t = t₀, x ∈ G₀, k = 0, …, m-1, (2)

где G₀ — носитель начальных данных — область гиперплоскости t = t_o пространства переменных x₁,..., x_n. Когда F и f_k, k = 0,..., m — 1, являются аналитическими функциями своих аргументов, задача Коши (1), (2) в некоторой области G пространства переменных t, х, содержащей G₀, всегда имеет и притом единственное решение. Однако это решение может оказаться неустойчивым (т. е. малое изменение начальных данных может вызвать сильное изменение решения), например в том случае, когда уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу. При неаналитических данных задача Коши (1), (2) может потерять смысл, если не ограничиться рассмотрением того случая, когда уравнение (1) является гиперболическим.

Лит.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., т. 2, М.— Л., 1951; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

А. В. Бицадзе.