Исчерпывания метод

Исче́рпывания ме́тод

Метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объёмов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в.

Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин C₁, C₂, ..., C_n, ... так, что

C_n < A; (1)

предполагают также известным такое В, что

C_n < В (2)

и при любом целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства

К (A — C_n) < D, К (В — C_n) < D, (3)

где D — постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству

А = В (4)

достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует

Математики древности, не располагавшие теорией Пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А < В, В < А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса — Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что для R = B — А существует такое К, что KR > D и в силу условия (1) получали

К (В — C_n) > К (В — A) > D,

что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).

Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием — Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площади C₁, C₂, ..., «исчерпывающие» при их постепенном нарастании площадь A сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом

Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,

Архимед геометрически доказывает, что при любом n

Вводя площадь

Архимед получает, что

и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что

Рис. к ст. Исчерпывания метод.