Двойственности принцип

Дво́йственности принцип

Принцип, формулируемый в некоторых разделах математики и заключающийся в том, что каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение, которое может быть получено из первого путём замены входящих в него понятий на другие, т. н. двойственные им понятия.

1) Д. п. формулируется в проективной геометрии на плоскости. При этом двойственными понятиями являются, например, «точка» и «прямая», «точка лежит на прямой» и «прямая проходит через точку». Каждой аксиоме в проективной геометрии на плоскости формулируется двойственное предложение, которое может быть доказано с помощью этих же аксиом (этим обосновывается Д. п. в проективной геометрии на плоскости). Двойственными утверждениями в проективной геометрии на плоскости являются известные теоремы Паскаля и Брианшона. Первая из этих теорем утверждает, что во всяком шестивершиннике, вписанном в линию 2-го порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой (рис. 1). Вторая теорема утверждает, что во всяком шестистороннике, описанном около линии 2-го порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (рис. 2).

2) Д. п. в абстрактной теории множеств. Пусть дано множество М. Рассмотрим систему всех его подмножеств А, В, С и т.д. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества М, которая формулируется лишь в терминах операций суммы, пересечения и дополнения, то верна также и теорема, получающаяся на данной путём замены операции суммы и пересечения соответственно операциями пересечения и суммы, пустого множества Λ — всем множеством М, а множества М — пустым множеством Λ. При этом дополнение суммы заменяется пересечением дополнений, а дополнение пересечения — суммой дополнений.

Пример 1. Верному соотношению

(A ∪ В)∩ С = (A ∩ С) ∪ (В∩ С)

двойственно соотношение (также верное)

(А∩ B) ∪ C = (A ∪ С) ∩ (В ∪ С)

Пример 2. Верному соотношению

(A∪B)∪(Ā∩`B) = M

двойственно соотношение (также верное)

(Ā∩ `B)∩(А∪ В) = Λ ,

где Ā, `B — дополнения множеств А, В во множестве М, А ∩ В — сумма множеств А и В, A ∩ В— их пересечение.

3) Д. п. имеет место в математической логике (в исчислении высказываний и в исчислении предикатов).

4) О топологических законах двойственности см. Топология.

Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947.

Рисунки 1 (слева) и 2 (справа) к ст. Двойственности принцип.