Гильбертово пространство

Ги́льбертово пространство

Математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем. математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие «Г. п.» находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятии математики.

Первоначально Г. п. понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т. н. пространство l2). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности

x = (x1, x2,..., xn,...)

такие, что ряд x21 + x22 +... + х2n + ... сходится. Сумму двух векторов х + y и вектор λx, где λ — действительное число, определяют естественным образом:

x + y = (x1 + y1,..., xn + yn,...),

λx = (λx1, λx2, ..., λxn,...)/

Для любых векторов х, y ∈ l2 формула

(x, y) = x1y1 + x2y2 + ... +xnyn + ...

определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательное число

Гильбертово пространство

Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяет неравенству |(х, у)| ≤ ||x|| ||y||. Последовательность векторов хn называется сходящейся к вектору х, если ||хn—х|| → 0 при n → ∞. Многие определения и факты теории конечномерных евклидовых пространств переносятся и на Г. п. Например, формула

Гильбертово пространство. Рис. 2

где 0 ≤ φπ определяет угол φ между векторами х и у. Два вектора х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Пространство l2 полно: всякая фундаментальная последовательность Коши элементов этого пространства (т. е. последовательность хn, удовлетворяющая условию ||хп—хm||→ 0 при n, m → ∞) имеет предел. В отличие от евклидовых пространств, Г. п. l2 бесконечномерно, т. е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых векторов; например, такую систему образуют единичные векторы

e1 = (1, 0, 0,...), e2 = (0, 1, 0,...),...

При этом для любого вектора x из l2 имеет место разложение

x = x1e1 + x2e2 +... (1)

по системе {en}.

Другим важным примером Г. п. служит пространство l2 всех измеримых функций, заданных на некотором отрезке [a, b], для которых конечен интеграл

Гильбертово пространство. Рис. 3

понимаемый как интеграл в смысле Лебега. При этом функции, отличающиеся друг от друга лишь на множество меры нуль, считаются тождественными. Сложение функций и умножение их на число определяется обычным способом, а под скалярным произведением понимается интеграл

Гильбертово пространство. Рис. 4

Норма в этом случае равна

Гильбертово пространство. Рис. 5

Роль единичных векторов предыдущего примера здесь могут играть любые функции φi(x) из L2, обладающие свойствами ортогональности

Гильбертово пространство. Рис. 6

и нормированности

Гильбертово пространство. Рис. 7

а также следующим свойством замкнутости: если f(x) принадлежит L2 и

Гильбертово пространство. Рис. 8

то f(x) = 0 всюду, кроме множества меры нуль. На отрезке [0,2π] в качестве такой системы функций можно взять тригонометрическую систему

Гильбертово пространство. Рис. 9

Разложению (1) соответствует разложение функции f(x) из L2 в ряд Фурье

Гильбертово пространство. Рис. 10

сходящийся к f(x) по норме пространства L2. При этом для всякой функции f(x) выполняется равенство Парсеваля

Гильбертово пространство. Рис. 11

Соответствие между функциями f(x) из L2 и последовательностями их коэффициентов Фурье a0, a1, b1, a2, b2,... является взаимно однозначным отображением L2 на l2, сохраняющим операции сложения, умножения на числа, а также сохраняющим длины и скалярные произведения. Т. о., эти пространства изоморфны и изометричны, значит имеют одинаковое строение.

В более широком смысле под Г. п. понимают произвольное Линейное пространство, в котором задано скалярное произведение и которое является полным относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением. В зависимости от того, определено ли для элементов Г. п. Н умножение только на действительные числа или же элементы из Н можно умножать на произвольные комплексные числа, различают действительное и комплексное Г. п. В последнем случае под скалярным произведением понимают комплексную функцию (х, у), определённую для любой пары х, у элементов из Н и обладающую следующими свойствами:

1) (х, х) = 0 в том и только том случае, если х = 0,

2) (х, х) ≥ 0 для любого x из Н,

3) (х + у, z) = (x, z) + (у, z),

4) (λx, у) = λ(x, у) для любого комплексного числа λ,

5) Гильбертово пространство. Рис. 12

где черта означает комплексно сопряжённую величину. Норма элемента х определяется равенством

Гильбертово пространство. Рис. 13

Комплексные Г. п. играют в математике и в её приложениях значительно большую роль, чем действительные Г. п. Одним из важнейших направлений теории Г. п. является изучение линейных операторов в Г. п. (см. Операторов теория). Именно с этим кругом вопросов связаны многочисленные применения Г. п. в теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории вероятностей, квантовой механике и т. д.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, т. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961.

Ю. В. Прохоров.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. Гильбертово Пространство — Векторное пространство Н над полем комплексных (или действительных) чисел вместе с комплексной (действительной) функцией ( х, у), определенной на и обладающей следующими свойствами. то существует такой элемент , что элемент хназ. Математическая энциклопедия
  2. гильбертово пространство — орф. гильбертово пространство, гильбертова пространства Орфографический словарь Лопатина
  3. ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в работах Д. Гильберта; находит широкое приложение в различных разделах математики и теоретической физики. Большой энциклопедический словарь