Конические сечения

При вращении прямоугольного треугольника около одного из катетов, гипотенуза с ее продолжениями описывает К. поверхность, называемую поверхностью прямого кругового конуса, которая может быть рассматриваема как непрерывный ряд прямых, проходящих через вершину и называемых образующими, причем все образующие опираются на одну и ту же окружность, называемую производящей. Каждая из образующих представляет собой гипотенузу вращающегося треугольника (в известном его положении), продолженную в обе стороны до бесконечности. Таким образом, каждая образующая простирается по обе стороны от вершины, вследствие чего и поверхность имеет две полости: они сходятся в одну точку в общей вершине. Если такую поверхность пересечь плоскостью, то в сечении получится кривая, которая и называется К. сечением. Она может быть трех типов: 1) если плоскость пересекает К. поверхность по всем образующим, то рассекается только одна полость и в сечении получается замкнутая кривая, называемая эллипсом (см.); 2) если секущая плоскость пересекает обе полости, то получается кривая, имеющая две ветви и называемая гиперболой (см.); 3) если секущая плоскость параллельна одной из образующих, то получается парабола (см.). Если секущая плоскость параллельна производящей окружности, то получается окружность, которая может быть рассматриваема как частный случай эллипса. Секущая плоскость может пересекать К. поверхность только в одной вершине, тогда в сечении получается точка, как частный случай эллипса. Если плоскостью, проходящей через вершину, пересекаются обе полости, то в сечении получается пара пересекающихся прямых, рассматриваемая как частный случай гиперболы. Если вершина бесконечно удалена, то К. поверхность обращается в цилиндрическую, и сечение ее плоскостью, параллельной образующим, дает пару параллельных прямых как частный случай параболы. К. сечения выражаются уравнениями 2-го порядка, общий вид которых

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

и называются кривыми 2-го порядка. Теория их излагается в курсах аналитической геометрии и высшей геометрии, из которых укажем на: Salmon, "A treatise on Conic Sections"; Chasles, "Traité de Géometrie Supérieure"; Staudt, "Geometrie der Lage". Ha русском языке см. Граве: "Курс аналитической геометрии".

Н. Д.