Комбинаторный анализ

Математическая теория, занимающаяся определением числа различных способов распределения данных предметов в известном порядке; имеет особенно важное значение в теории уравнений и в теории вероятностей. Простейшие задачи этого рода заключаются в определении числа: размещений, сочетаний и перестановок.

Размещениями m предметов по n называются группы, которые можно составить из m предметов таким образом, чтобы каждая группа заключала в себе n предметов и все такие группы отличались бы одна от другой — или предметами в них входящими, или порядком распределения предметов. Число всех возможных размещений, какие можно составить из m предметов по n обозначается символом Aⁿ_m и доказывается, что А^п_т = m(m-1)(m-2)(m-3)...(m-n+1).

Сочетаниями из m предметов по n называются группы, которые можно составить из m предметов таким образом, чтобы каждая группа заключала в себе n предметов и все такие группы отличались бы одна от другой предметами в них входящими. Число сочетаний из m по n обозначается символом Cⁿ_m и доказывается, что Cⁿ_m = [m(т-1)(т)...(m-n+1)]/1.2.3...п.

Перестановками из n предметов называются группы, которые можно составить из n предметов таким образом, чтобы все n предметов входили в каждую группу и одна группа от другой отличалась бы порядком распределения предметов. Число всех возможных перестановок из n предметов обозначается символом P_n и доказывается, что P_n = 1.2.3.4...n. Вычисление чисел Aⁿ_m, Cⁿ_m, и P_n при больших m и n обыкновенным способом по приведенным формулам весьма затруднительно. В таких случаях удобнее пользоваться формулой Гудермана:

В К. анализе употребляются три метода: прямой, способ производящих функций Лапласа и формулы теории конечных разностей.

Н. Д.