соревноваться
За что, на что, в чем и почему.
1. з а ч т о (объект соревнования). Соревноваться за досрочное выполнение годового плана. Соревноваться за право участия в конкурсе.
2. н а ч т о (претендовать на высокие результаты). Соревноваться на первенство факультета.
3. в ч е м и п о ч е м у (область соревнования). Соревноваться в беге (по бегу). Соревноваться в плавании (по плаванию).
Управление в русском языке. Д.Э. Розенталь