ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОСВЕННОЕ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОСВЕННОЕ (непрямое доказательство) – доказательство «от противоречащего случая», такая форма логической аргументации [АРГУМЕНТАЦИЯ], при которой явно используются дедуктивные свойства противоречия. Обычно выделяют две формы косвенного доказательства – разделительную и апагогическую.

В разделительной форме исходной посылкой служит дизъюнкция суждений, о которой известно, что она истинна и образует полную систему гипотез (альтернатив), а тезисом доказательства (тем, что требуется доказать) объявляется (по крайней мере) одна из гипотез этой дизъюнкции. Т.о., особенность разделительного косвенного доказательства – в исключении (как ложных) всех гипотез главной посылки, кроме тезиса. Такое исключение проводится многократным применением правила (modus tollendo ponens), разрешающего утверждать (принимать) в качестве истинной одну гипотезу, если отрицается другая: «A или B, не-A, следовательно, B». При этом право на исключение альтернатив (членов дизъюнкции) обосновывается отдельно, что и составляет косвенный пункт доказательства. Если же тезис заранее не указан, он выявляется в ходе последовательного проведения всех косвенных пунктов доказательства.

В апагогической форме (в отличие от разделительной) доказательство начинается с предположения о ложности тезиса и с принятия в качестве одной из посылок доказательства антитезиса – суждения, противоречащего тому, что требуется доказать (противоречащего тезису доказательства). Это первый шаг апагогического косвенного доказательства, называемого поэтому доказательством «от противного». Все последующие шаги состоят в разыскании таких следствий первого шага, которые указывали бы так или иначе на необходимость отбросить исходную гипотезу о ложности тезиса, дав т.о. известное основание его истинности. А это возможно, если только удастся опровергнуть антитезис. Напр., показать несовместимость антитезиса с каким-нибудь заведомо истинным суждением или привести антитезис к абсолютному противоречию типа абсурда (отсюда такой вариант доказательства от противного как reductio ad absurdum).

Первые неявные примеры апагогических косвенных доказательств восходят к ранней античности. Таковы, в частности, «уличающие опровержения» Зенона Элейского, его апории [АПОРИЯ], соответствующие одному из логических законов, а именно A⊃((A⊃А) ⊃ (А⊃В): предположив истинным А и ложным В, из отрицания В выводим отрицание А, чем от противного и доказываем истинность импликации (А⊃В).

Очевидно, что как duplex negatio, так и tertium non datur выражают онтологический аспект отрицания, его трансцендентный характер. Отказ от этих принципов, естественно, приводит к неонтологической концепции отрицания и вводит понятие отрицания в контекст гносеологических обсуждений, затрагивая проблемы философского характера. Вот почему в научном мышлении прямые доказательства ценятся выше косвенных. Однако доказуемое косвенно не всегда доказуемо прямым способом. В этом смысле косвенные доказательства сильнее прямых. Они широко используются как в повседневном, так и в научном мышлении в той мере, в какой стратегия поиска доказательства оправдывается принятой логикой рассуждений.

Литература:

1. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. М., 1954, гл. 5;

2. Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965;

3. Клини С.К. Математическая логика. М., 1973;

4. Löwenheim L. On Making Indirect Proofs Direct. – «Scripta Math.», 1946, 12;

5. Goodstein R.L. Proof by reductio ad absurdum. – «Math. Gazette», 1948, 32;

6. Beth E.W. Observation au sujet du raisonnement indirect. – «Logique et Analyse», 1960, № 11–12.

M.M.Новосёлов