ГЕДЕЛЬ Курт

(Godel, Kurt)

(1906-1978), австрийский логик и математик, автор фундаментального открытия, показавшего ограниченность аксиоматического метода. Родился 28 апреля 1906 в Брно. В 1924 поступил в Венский университет, в 1930 защитил докторскую диссертацию по математике. В 1933-1938 — приват-доцент Венского университета; в 1940 эмигрировал в США. С 1953 и до конца жизни — профессор Принстонского института перспективных исследований. Умер Гедель в Принстоне 14 января 1978. Диссертация Геделя была посвящена проблеме полноты. Полнота системы аксиом, служащих основанием какой-либо области математики, означает адекватность этой аксиоматики той области, которая с их помощью задается, т.е. означает возможность доказать истинность или ложность любого осмысленного утверждения, содержащего понятия рассматриваемой области математики. В 1930-м годам были получены некоторые результаты о полноте различных аксиоматических систем. Так, Гильберт построил искусственную систему, охватывающую часть арифметики, и доказал ее полноту и непротиворечивость. Гедель в своей диссертации доказал полноту исчисления предикатов первой ступени, и это дало надежду математикам на то, что им удастся доказать непротиворечивость и полноту всей математики. Однако уже в 1931 тот же Гедель доказал теорему о неполноте, нанесшую сокрушительный удар по этим надеждам. Согласно этой теореме, любая процедура доказательства истинных утверждений элементарной теории чисел обречена на неполноту. Элементарная теория чисел — это раздел математики, занимающийся сложением и умножением целых чисел, и, как показал Гедель, при любых осмысленных и практически применимых системах доказательств некоторые истины даже в такой весьма скромной области математики останутся недоказуемыми. Как следствие он получил, что внутренняя непротиворечивость любой математической теории не может быть доказана иначе, как с помощью обращения к другой теории, использующей более сильные допущения, а значит, менее надежной. Методы, использованные Геделем при доказательстве теоремы о неполноте, сыграли в дальнейшем важную роль в теории вычислительных машин. Гедель внес важный вклад в теорию множеств. Два принципа — аксиома выбора и континуум-гипотеза — на протяжении десятилетий не поддавались доказательству, но интерес к ним не ослабевал: слишком привлекательны были их логические следствия. Гедель доказал (1938), что присоединение этих принципов к обычным аксиомам теории множеств не приводит к противоречию. Его рассуждения ценны не только теми результатами, которые они позволяют получить; Гедель разработал конструкцию, которая улучшает понимание внутренних механизмов самой теории множеств.

ЛИТЕРАТУРА

Нагель Э., Ньюмен Д.Р. Теорема Геделя. М., 1970 Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984