Эллиптические интегралы
Эллипти́ческие интегралы
Интегралы вида
где R (x, у) — рациональная функция х и
Под Э. и. первого рода понимают интеграл
под Э. и. второго рода — интеграл
где k — модуль Э. и., 0 < k < 1 (х = sin φ, t = sin α. Интегралы в левых частях равенств (1) и (2) называются Э. и. в нормальной форме Якоби, интегралы в правых частях — Э. и. в нормальной форме Лежандра. При х = 1 или φ = π/2 Э. и называются полными и обозначаются, соответственно, через
и
Своё назв. Э. и. получили в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и = a sin α, v = b cos α(a < b). Длина дуги эллипса выражается формулой
где