Функциональный анализ
I
Функциона́льный ана́лиз
часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.
Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.
1. Возникновение функционального анализа. Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.
Среди абстрактных пространств для математического анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции — откуда и название «Ф. а.»). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l2 и L2(a, b) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства lp и Lp (a, b), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930—40-х гг. в работах Т. Карлемана, Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.
В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы
А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;
Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;
Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.
Для современного этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.
2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства (См. Линейное пространство) Х над полем комплексных чисел
||λx || = |λ| ||x||, λ ∈
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Такое пространство называется линейным нормированным; топология в нём вводится при помощи метрики dist (x, у) = ||x — у|| (т. о. считается, что последовательность xn
В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение — обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x, у ∈ Х называется комплексное число (x, у) такое, что всегда (x, x) ≥ 0 и (x, x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
(λx + μy, z) = λ(x,z) + μ(y,z), λ, μ ∈
При этом
Обычное Евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство). Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в
Банахово пространство С (Т) всех непрерывных функций, Т — компактное подмножество n-мерного пространства
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l2: векторы ej = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н, свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x, у ∈ Н называются ортогональными (x ⊥ y), если (x, у) = 0. Для любого x ∈ Н существует его проекция на произвольное подпространство F — линейное замкнутое подмножество Н, т. е. такой вектор xF, что x—xF⊥f для любого f ∈ F. Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н, где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса — последовательности векторов ej, j ∈
x = ∑
где xj = (x, ej), ||x|| = ∑ |xj|2 (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L2(0, 2π) и положить , j =...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t) ∈ L2(0, 2π) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l2 ∋ {xj}, j ∈
Подобные геометрические вопросы резко усложняются при переходе от гильбертовых к банаховым и тем более линейным топологическим пространствам в связи с невозможностью ортогонального проектирования в них. Например, «проблема базиса». Векторы e, образуют базис в lp в смысле справедливости разложения (1). Базисы построены в большинстве известных примеров банаховых пространств, однако проблема (С. Банаха — Ю. Шаудера) существования базиса в каждом сепарабельном банаховом пространстве не поддавалась решению более 50 лет и лишь в 1972 была решена отрицательно. В Ф. а. важное место занимает подобная «геометрическая» тематика, посвященная выяснению свойств различных множеств в банаховых и др. пространствах, например выпуклых, компактных и т.д. Здесь часто просто формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные решения. Эта тематика тесно связана с изучением изоморфизма пространств, с нахождением универсальных (подобно l2) представителей в том или ином классе пространств и т.п.
Большой раздел Ф. а. посвящен детальному изучению конкретных пространств, т.к. их свойства обычно определяют характер решения задачи, получаемой методами Ф. а. Типичный пример — теоремы вложения для т. н. пространств С. Л. Соболева и их обобщений: простейшее такое пространство Wlp (T), p ≥ 1, l = 0, 1, 2,..., определяется как пополнение пространства бесконечно дифференцируемых в Т функций x (t) относительно нормы ∑||Dαx|| в Lp (T), где сумма распространяется на все производные Dα до порядка ≤ l. В этих теоремах выясняется вопрос о характере гладкости элементов пространства, получаемых процедурой пополнения.
В связи с запросами математической физики в Ф. а. возникло большое число конкретных пространств, строящихся из известных ранее при помощи определённых конструкций. Наиболее важные из них:
ортогональная сумма
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x
3. Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X, Y — линейные пространства; отображение A: X → Y называется линейным, если для x, у ∈ X, λ, μ ∈
A (λx + μу) = λAx + μАу;
линейные отображения обычно называются линейными операторами. В случае конечномерных X, Y структура линейного оператора простая: если зафиксировать базисы в Х и Y, то
где x1,..., xn и (Ax)1,..., (Ax) n — координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L2 (а, b) в него же оператор
(где K (t, s) — ограниченная функция — ядро А) — непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C1(a, b) ⊂ L2(a, b) оператор дифференцирования
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).
Непрерывный оператор A: X → Y, где X, Y — банаховы пространства, характеризуется тем, что
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов
Пространство X' в известном смысле «лучше» X. Так, например, в нём можно наряду с нормой ввести т. н. слабую топологию [грубо говоря,
Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (lp)', p > 1, состоит из функций вида ∑
Ф = Wl2(T).
Дифференциальный оператор D, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L2[a, b] из пространства C1[a, b], снабженного нормой
4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx = y, где С — некоторый оператор, у ∈ Y — заданный, а x ∈ Х — искомый векторы. Например, если Х = Y = L2 (а, b), С = Е — А, где А — оператор из (2), а Е — тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С — дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из Y, замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x — Ax = у, вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).
В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на Собственные значения: для некоторого оператора А: Х → Х требуется выяснить возможность нахождения решения φ ≠ 0 (собственного вектора (См. Собственные векторы)) уравнения Аφ = λφ при некотором λ ∈
Ax = ∑
где λj, — собственное значение, отвечающее ej. Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А.
Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K (t, s) = K (s, t) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов (См. Самосопряжённый оператор) в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L2[a, b]
(Tx)(t) = tx (t) (5)
не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом.
Пусть Х — банахово пространство, А ∈
При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f (z) → f (A) — гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.
Пусть Н — гильбертово пространство. Ограниченный оператор А: Н → Н называется самосопряжённым, если (Ax, у) = (x, Ау) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н n-мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А; другими словами, имеют место разложения:
где P (λj) — оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А, отвечающие одному и тому же собственному значению λj.
Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н, только сами проекторы P (λj) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е (λ) [которая в конечномерном случае равна
5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто — в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в
Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x называется неподвижной для отображения F, если Fx = x). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Ф. а. явление — т. н. точки ветвления (решений).
При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Ф. а. развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.
6. Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер, 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название — банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём ||xy|| ≤ ||x|| ||y||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х (умножение в нём — последовательное применение операторов — необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например C (T) с обычным умножением, L1(
Пусть
В некоммутативном случае наиболее изучены банаховы алгебры с инволюцией — таким отображением *: → , что для любых x, у ∈ , λ, μ ∈
(x*)* = x,
(λx + μy)* =`λx* +`μy*.
(ху)* = у*х*.
Такова, например, банахова алгебра
Мультипликативная структура банаховой алгебры
Наиболее полно развита теория линейных представлений топологических групп (в т. ч. конечных). Линейным представлением (топологической) группы G называется гомоморфизм π: G →
Пусть G — локально компактная группа, dg — мера Хаара на G, т. е. неотрицательная мера на кольце
Если G коммутативна, то структура операторов сдвига описывается следующей формулой
— обобщённое преобразование Фурье функций f (g) и k (g), которое продолжается до изоморфизма L2(G, dg) в L2(Ĝ, dχ). Для некоммутативных групп ситуация во многом усложняется. Если G компактна, то представление группы операторов сдвига (или, короче, группы сдвигов) удаётся хорошо описать; в этом случае L2(G, dg) распадается в прямую сумму конечномерных инвариантных относительно сдвигов подпространств. Если G некомпактна, то также получается разложение L2(G, dg) на более простые инвариантные части, но уже не в прямую сумму, а в прямой интеграл.
Если G =
Лит.: Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; Вулих Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Киïв, 1948; Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; Иосида К., Функциональный анализ, пер, с англ., М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1—3, М., 1962—74; Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения пер с англ., М., 1969.
Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.
II
Функциона́льный ана́лиз (химический)
совокупность химических и физических методов анализа (главным образом органических веществ), основанных на определении в молекулах реакционно-способных групп атомов (отдельных атомов) — т. н. функциональных групп. Такими группами являются, например, гидроксильная (—ОН), карбоксильная (
Лит.: Бобранский Б., Количественный анализ органических соединений, пер. с польск., М., 1961; Терентьев А. П., Органический анализ. Избр. труды, М., 1966; Черонис Н. Д., Ма Т. С., Микро- и полумикрометоды органического функционального анализа, пер. с англ., М., 1973; Климова В. А., Основные микрометоды анализа органических соединений, М., 1975.
Ю. А. Клячко.
Большая советская энциклопедия