Суммирование
Сумми́рование
Расходящихся рядов и интегралов, построение обобщённой суммы Ряда (соответственно значения Интеграла), не имеющего обычной суммы (соответственно значения). Расходящиеся ряды могут получаться при перемножении условно сходящихся рядов, при разложении функций в ряд Фурье, при дифференцировании и интегрировании функциональных рядов и т. д. Часто встречаются расходящиеся ряды и интегралы в теории электромагнитного поля и др. вопросах современной физики. Во многих случаях расходящиеся ряды и интегралы можно просуммировать, то есть найти для них сумму (значение) в обобщённом смысле, обладающую некоторыми из основных свойств обычной суммы (значения) сходящегося ряда (интеграла). Обычно требуется, чтобы из того, что ряд
умножается на некоторый множитель λn (t) так, чтобы после умножения получился сходящийся ряд
с суммой δ(t). При этом множители λn (t) выбираются так, чтобы при каждом фиксированном n предел λn (t) при некотором непрерывном или дискретном изменении параметра t равнялся 1. Тогда члены ряда (2) стремятся к соответствующим членам ряда (1). Если при этом δ(t) имеет предел, то его называют обобщённой суммой данного ряда, соответствующей данному выбору множителей (данному методу С.). Например, если положить λn (t) = 1 При n ≤ t и λn (t) = 0 при n > t и брать t → ∞, то получится обычное понятие суммы ряда; при λn (t) = tn для t < 1 и t → 1 получается метод Абеля — Пуассона. Часто указывается не результат умножения членов ряда на λn (t), а соответствующие изменения частичных сумм ряда. Например, в методе средних арифметических Чезаро полагают
где
Этот метод соответствует выбору λn (m) = (m — n + 1)/(m + 1) при n ≤ m и λn (m) = 0 при n > m. Если положить
и если существует
Метод Чезаро даёт то же значение, так как
s2n= 1, s2n+l = 0, σ2n = (n + 1)/(2n + 1),
σ2n+1 = 1/2,
Методы Чезаро и Абеля — Пуассона применяются в теории тригонометрических рядов для нахождения функции по её ряду Фурье, так как ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется к этой функции методом Чезаро первого порядка, а тем самым и методом Абеля — Пуассона. В 1901 Г. Ф. Вороной предложил метод С., частными случаями которого являются все методы Чезаро. Пусть pn ≥ 0, p0= 0,
Метод Вороного регулярен, если
В 1911 немецкий математик О. Теплиц нашёл необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять треугольная матрица ||атn|| (где атn = 0 при n > m) для того, чтобы метод С., определяемый формулой
В теории аналитических функций важную роль играет метод суммирования Бореля, позволяющий аналитически продолжить функцию, заданную степенным рядом, за границу круга сходимости. Важный метод С. тригонометрических рядов был предложен С. Н. Бернштейном и немецким математиком В. Рогозинским. Бернштейн использовал этот метод для получения сходящихся интерполяционных процессов.
Теория С. расходящихся интегралов аналогична теории С. расходящихся рядов. Например, если интеграл
расходится и существует предел
то говорят, что первый интеграл суммируем к А методом Чезаро порядка λ.
Лит.: Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., [2 изд.], т. 1—2, М., 1965; Титчмарт Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.— Л., 1948; Вари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961.
Большая советская энциклопедия