Переменный ток

Если какой-либо источник тока вызывает в данном проводнике или в данной замкнутой цепи электродвижущую силу и эта электродвижущая сила непрерывно изменяется по величине и по направлению, т. е. представляется периодической функцией времени, то в рассматриваемом проводнике или в рассматриваемой замкнутой цепи появляется электрический ток, сила которого и направление изменяются также непрерывно со временем. Такой ток и носит название П. тока. Возникновение такого тока в проводнике осложняется явлениями индукции. В самом деле, вследствие непрерывного изменения силы П. тока возбуждается в проводнике, в котором происходит этот ток, особая электродвижущая сила, происходящая: 1) от самоиндукции, т. е. от индукции самого данного проводника с П. током, и 2) от индукции на этот проводник других проводников, находящихся вблизи первого проводника, так как в таких проводниках возникают также П. токи от индуктивного действия на них рассматриваемого проводника с П. током. Итак, полная электродвижущая сила, возбуждающая в какой-либо момент времени в данном проводнике электрический ток, представляет собой сумму электродвижущей силы источника тока и всех других электродвижущих сил, возникающих вследствие индукции. Обозначая через Е электродвижущую силу источника тока, причем, по условию, Е выражается какой-либо периодической функцией времени f(t), через L коэффициент самоиндукции данного проводника (см. Самоиндукция), через i силу тока в этом проводнике, через M₁, M₂, ... коэффициенты взаимной индукции данного проводника и других соседних с ним проводников, в которых силы токов суть i₁, i₂..., и пользуясь законами индукции токов, мы будем иметь для полной электродвижущей силы в данном проводнике выражение

E = E — Ldi/dt — M₁di₁/dt — M₂di₂/dt...

Обозначая сопротивление данного проводника через R, мы получаем по закону Ома для силы тока в этом проводнике выражение

i = (E — Ldi/dt — M₁di₁/dt — M₂di₂/dt...)/R.... (1)

Положим, что вблизи данного проводника не имеется никаких других проводников. В этом случае мы имеем

i = (E — Ldi/dt)/R.... (2)

Здесь по условию E = f(t), причем f(t) есть периодическая функция времени. Но по теореме Фурье всякая периодическая функция t может быть представлена в виде следующего ряда:

f(t) = A + E₀Sin(2πt/T — α) + E'₀Sin(4πt/T — α') + E"₀Sin(6πt/T — α") +...

т. е. электродвижущая сила Е может быть рассматриваема как сумма постоянной электродвижущей силы А и электродвижущих сил, которые изменяются со временем по закону гармонического колебания (т. е. пропорционально синусам углов, непрерывно изменяющихся со временем) и которых периоды суть T, ¹/₂T, ¹/₃T..., а наибольшие величины суть Е₀, Е'₀, Е"₀ ..., причем моменты, когда эти отдельные электродвижущие силы достигают своих наибольших величин или когда они обращаются в 0, различны, т. е. фазы этих электродвижущих сил неодинаковы. При таком характере электродвижущей силы E, действующей в проводнике, ток i, появляющийся в нем, может быть рассматриваем как ток, слагающийся из отдельных токов j, i₀, i', i"..., которые возбуждаются в этом проводнике вследствие действия отдельных электродвижущих сил:

A, E₀Sin(2πt/T — α), E'₀Sin(2πt/(¹/₂T) — α'), E"₀Sin(2πt/(¹/₃T) — α"),...

Наиболее простой и к тому же наиболее часто рассматриваемый в практике случай будет тот, когда электродвижущая сила, действующая в проводнике, выражается через

E = E₀Sin2πt/T... (3)

т. е. эта электродвижущая сила изменяется со временем гармонически. Такую электродвижущую силу представляет электродвижущая сила, которая вследствие индукции появляется в какой-либо катушке, приготовленной из изолированной проволоки и приводимой в однородном магнитном поле в равномерное вращение около оси, лежащей в плоскости какого-либо оборота этой катушки и не совпадающей с направлением силовых линий поля. Такая же электродвижущая сила возбуждается и многими динамо-машинами П. тока. В данном случае мы получаем из выражения для i следующее дифференциальное уравнение:

di/dt + (R/L)i = (E₀/L)Sin2πt/T... (4)

Интегрируя это уравнение и принимая во внимание, что при стационарном характере изменения величины электродвижущей силы и изменение силы тока должно быть также стационарного характера, получаем

причем tgθ = 2πL/TR... (6)

или, обозначая через n число полных изменений электродвижущей силы в течение одной секунды, т. е. полагая n = t/T, имеем

и tgθ = 2πnL/R... (6')

Полученное выражение для силы П. тока показывает, что продолжительность одного полного изменения силы этого тока (период этого тока) одинакова с продолжительностью одного полного изменения вызывающей этот ток электродвижущей силы Е. Но если только проводник, в котором является П. ток, не неиндуктивен, т. е. для этого проводника величина коэффициента самоиндукции L не равна 0, то развитие тока не совпадает по времени с развитием электродвижущей силы. В своем изменении ток запаздывает относительно электродвижущей силы. Между фазами электродвижущей силы и тока получается постоянная разность, выраженная через θ и удовлетворяющая равенству tgθ=2πnL/R. Как видно из этой формулы, при большом числе перемен тока в единицу времени, при значительной величине L и малом сопротивлении R, разность фаз θ мало отличается от π/2, т. е. в тот момент, когда электродвижущая сила Е достигает своей наибольшей величины, сила тока весьма близка к 0, и обратно. Итак, явление П. тока в проводнике происходит так, как будто в данный момент t действует в этом проводнике электродвижущая сила не E₀Sin2πt/T, а сила, равная E₀Sin(2πt/T — θ), и, кроме того, как будто проводник имеет сопротивление не R, но большее, равное , т. е. входящие в выражение кажущегося сопротивления величины R' и L' отличаются от величин R и L, определяемых из опытов с токами, постоянными и П. со сравнительно небольшой величиной n. Это происходит оттого, что при очень большой величине n П. токи не проникают, как показывает теория и подтверждают опыты, всей внутренней массы проводника. В этом случае такие П. токи, т. е. П. токи очень большой частоты, распространяются только по поверхностным слоям проводника, а потому сплошной цилиндр или проволока являются по отношению к этим токам эквивалентными проводникам, имеющим форму трубок того же внешнего диаметра, как сплошной цилиндр или проволока. Для цилиндрических проводников с поперечным сечением в виде круга найдены Рэлэем следующие выражения для R' и L':

R' = R(1 + ¹/₁₂(μ²l²p²/R²) — ¹/₁₈₀(μ⁴l⁴p⁴/R⁴) +... ),

L' = l{A + μ(¹/₂ — ¹/₄₈(μ²l²p²/R²) + ¹³/₈₆₄₀(μ⁴l⁴p⁴/R⁴ —... )}.

Здесь μ обозначает магнитную проницаемость вещества проводника, l обозначает длину его, p = 2πn. Эти формулы значительно упрощаются, если положить, что n очень велико. В последнем случае мы получим

Возникновение в проводнике П. токов с очень большим числом перемен происходит в случае колебательных разрядов через этот проводник какого-либо наэлектризованного тела или конденсатора (см. Колебательный разряд). Такое же явление встречается при ударе молнии в громоотвод (см.). П. токи чрезвычайно большой частоты (например, токи Тесла) не вызывают никакого болевого ощущения в человеческом организме, тогда как П. токи со сравнительно небольшим числом n производят весьма сильные физиологические действия на нервную систему человека и животных.

Вместо выражения (5') можно написать

i = JSin(2πt/T — θ) = JSin2πt'/T... (7).

Здесь J обозначает наибольшую величину силы П. тока. Из формулы (7) мы получаем для средней арифметической величины силы тока (i_m) (средней для всех значений i между 0 и J) выражение:

Средняя квадратичная сила П. тока (i_e), или, по современной номенклатуре, действующая сила переменного тока (intensité efficace) получается по формуле

Итак, имеем ,

откуда, обратно, получаем .

Приборы, служащие для измерения силы П. тока (электродинамометры и амметры), обыкновенно и показывают величину i_e, так как эти приборы основаны на действиях, пропорциональных квадрату силы тока. В самом деле, эти приборы основаны или на электродинамическом действии тока, или на тепловом его действии, или на действии тока на намагничиваемое им железо.

Подобным же образом, как при определении i_m и i_e, мы находим для средней арифметической величины (Е_m) электродвижущей силы выражение

E_m = 2E₀/π = 0,637E₀

и для средней квадратичной величины (Е_e ) или, по современной номенклатуре, для действующей электродвижущей силы Е_e (force électromotrice efficace) выражение

Средняя работа в единицу времени (W_m), необходимая для поддержания в проводнике П. тока, выражается через

Такая же работа в течение единицы времени совершается в среднем и током. Эта работа будет очень мала, когда разность фаз θ близка к π/2.

Положим, что вблизи данного неизменяемого проводника с П. током находится другой неизменяемый замкнутый проводник, в котором появляются индукционные токи, происходящие от действия на этот проводник данного проводника с П. током в нем.

Обозначая через R₁ и R₂ сопротивления первого и второго проводников, через L₁ и и L₂ — коэффициенты самоиндукции этих проводников, через M — коэффициент взаимной индукции их, через Е = Е₀Sin2πnt — электродвижущую силу в первом проводнике и через i₁, i₂ силы токов в них, мы получаем при помощи выражения (1) следующие дифференциальные уравнения:

L₁di₁/dt + Mdi₂/dt + R₁i₁ — E₀Sin2πnt = 0,

L₂di₂/dt + Mdi₁/dt + R₂i₂ = 0.

Отсюда находим

Итак, присутствие какого-либо замкнутого проводника вблизи данного проводника, в котором действует гармонически изменяющаяся электродвижущая сила, производит изменение кажущегося сопротивления этого проводника так, как будто истинное сопротивление (R₁) этого проводника увеличивается, а коэффициент самоиндукции (L₁) его уменьшается. На этом основано регулирование П. токов, употребляемых в электротехнике, при помощи вдвигания или выдвигания замкнутой катушки внутрь другой катушки, введенной в цепь регулируемого тока.

Влияние самоиндукции цепи на силу тока в этой цепи, когда возбуждающая ток электродвижущая сила изменяется гармонически, т. е. выражается через Е = E₀Sin2πnt, может быть уменьшено употреблением конденсатора. В самом деле, поместив в цепь П. тока конденсатор, емкость которого пусть будет обозначена через С, а разность потенциалов в какой-либо момент времени через V, мы получаем для силы тока в цепи выражения

i = (E — Ldi/dt — V)/R... (9) и i = CdV/dt... (10).

Так как при Е = E₀Sin2πnt должно быть i = JSin(2πnt — θ), то получается

V = — (J/2πnC)Cos(2πnt — θ) = —(1/4π²n²C)di/dt... (11).

При помощи формул (9) и (11) находим .

Отсюда получаем

и .

Итак, введение конденсатора с емкостью С в цепь П. (гармонически изменяющегося) тока производит уменьшение коэффициента самоиндукции цепи на величину 1/(4π²n²C), т. е. конденсатор, введенный в такую цепь, может быть уподоблен проводнику, сопротивление которого равно 0, а коэффициент самоиндукции равен — 1/(4π²n²C). Введение конденсатора в цепь изменяет также и разность фаз электродвижущей силы и тока, как это видно из формул (6') и (14). Введение конденсатора с емкостью С в ответвление цепи можно рассматривать, как помещение в это ответвление проводника, сопротивление которого равно 0, а коэффициент самоиндукции равен — 1/(4π²n²C).

Если П., гармонически изменяющийся ток разветвляется в сети проводников, причем отдельные ветви обладают самоиндукцией и емкостью, то определение силы тока в какой-либо такой ветви может быть произведено следующим образом. Пусть сила тока в главной ветви, из которой ток разделяется на отдельные ветви, выражается через i = 2JCos2πnt = 2Jcospt... (15). Здесь введено обозначение p = 2πn.

Но , где е основание натуральных логарифмов. Поэтому мы можем положить

Сила тока в какой нибудь ветви может быть выражена через

Коэффициенты K_S и K'_S для различных ветвей s находятся из обобщенных уравнений Кирхгофа, примененных к рассматриваемой сети проводников. А именно для каждой точки разветвлений, т. е. для каждой точки, в которой пересекаются проводники должно быть Σ_SK_S=0, Σ_SK'_S=0... (18) и для каждого замкнутого контура, состоящего из ветвей сети, должно быть Σ_SK_S W_S=0, Σ_SK'_SW_S=0... (19), причем

Здесь r_S обозначает сопротивление ветви s, L_S — коэффициент самоиндукции этой ветви и C_S — емкость ее.

Система П., гармонически изменяющихся токов с постоянной разностью фаз между двумя соседними токами носит название многофазного тока. Так, многофазный ток образуют n токов, силы которых выражаются через

i₁ = J Sin2πnt

i₂ = J Sin(2πnt + 2π/n)

i₃ = J Sin(2πnt + 4π/n)

...................

i_n_—1 = J Sin(2πnt + (n—2)2π/n)

i_n = J Sin(2πnt + (n—1)2π/n).

Сумма этих токов в каждый отдельный момент равна 0, в чем легко убедиться, сложив вместе выражения i₁, i₂, i₃,...i_n-₁, i_n. Вследствие этого свойства такая система n токов, образуемая генератором, требует всего только n проводников, соединенных вместе их концами. Наиболее часто употребляется в электротехнике трехфазный ток, т. е. 3 тока, отличающиеся друг от друга по фазе на 120°. Такие многофазные токи употребляются главным образом для приведения во вращение электродвигателей с вращающимся магнитным полем (см. Электродвигатель). П. ток образует вокруг себя переменное магнитное поле, а потому если такой П. ток проходит по обмотке с сердечником из железа, то он возбуждает в этом железе П. магнитный поток и этот П. магнитный поток, период которого одинаков с периодом П. тока, вызывает индукционые токи, также П. и того же периода, в другой обмотке, окружающей собой сердечник первой и замкнутой какими-либо проводниками. Действующая электродвижущая сила в цепи этой второй обмотки может быть весьма различна, смотря по тому, каково отношение между числами оборотов проволоки в той и в другой обмотке. На этом начале устраиваются особые приборы, называемые трансформаторами и предназначаемые для превращения переменных токов малой силы и большого напряжения в П. токи большой силы и малого напряжения и обратно (см. Трансформатор). Благодаря возможности весьма легко, без употребления сложных и дорогостоящих приборов трансформировать П. токи из одних в другие, эти П. токи вошли в большое употребление на практике для целей электрического освещения и передачи электрической энергии на расстояние (см. Передача энергии).

И. Боргман.

Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона

Переменный ток

Значения в других словарях