Гиперболические функции
По аналогии с тригонометрическими функциями Sinx, cosx, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул
sinx = (exi — e—xi)/2i, cosx = (exi + e—xi)/2
(где е есть основание нэперовых логарифмов, a i = √[-1]); иногда вводятся в рассмотрение так называемые Г. функции sinhypx, coshypx. Эти функции определяются при помощи уравнений
sinhyp x = (ex — e—x)/2, coshyp x = (ex + e—x)/2.
Название Г. эти функции получают от того, что их можно выводить из рассмотрения равносторонней гиперболы (см. Гипербола), как тригонометрические функции получаются из круга. Возьмем круг радиуса = 1 и равностороннюю гиперболу с полуосью, равной единице. Проведем в гиперболе оси ОА и OB и точно так же в круге возьмем два взаимно-перпендикулярных диаметра. Начиная от точки А на круге и на гиперболе, возьмем дуги АС такие, чтобы площади соответственных секторов ОАС (см. чертежи) равнялись некоторому числу z.
Черт. 3.
Из конца дуги С опустим перпендикуляр CD на диаметр OA. Тогда получим следующее: в круге длина дуги АС будет равна, очевидно, 2z, ибо площадь сектора
но R = 1; CD для круга будет sin2z, a OD будет cos2z. Подобным же образом для гиперболы OD будет coshyp2z, a CD будет sinhyp2z. Обозначая OD через х, CD через у, мы получим уравнение круга в виде
x2 + y2 = 1,
а уравнение гиперболы в виде
x2 — y2 = 1;
отсюда мы замечаем, что между гипербол. функциями должно существовать соотношение
coshyp2x — sinhyp2x = 1,
аналогичное с тригонометрическим
cos2x + sin2x = 1.
Черт. 4.
Кроме того, можно вводить функцию
tghypx = sinhypx/coshypx.
Теорема сложения Г. функций аналогична с соответственной теоремой тригонометрических. Эта теорема выражается формулами:
sinhyp(x + y) = sinhypx×coshypy + coshypx×sinhypy
и
coshyp(x + у) = coshypx×coshypy — sinhypx×sinhypy.
Д. Гр.
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона