Гармонические движения

простые и составные. Представим себе, что по кругу радиуса а (на черт. 1 изображен круг, имеющий центр в О) движется точка N с постоянной скоростью в сторону, указанную стрелкой, причем полный оборот по окружности она совершает в течение времени Т.

Чертеж 1. Чертеж 2.

Проекция M точки N на направление прямой Х₁ОХ будет тогда совершать вдоль по ней, вверх и вниз, колебательное движение, называемое простым гармоническим движением и выражаемое следующим уравнением:

x = asin(2πt/T) (I)

если считать время от того момента, когда точка N была в С, а положительные расстояния х по прямой X₁OX считать по направлению ОХ.

Если же считать время от какого-либо другого момента, то это же движение выразится уравнением:

x = asin(2πt/T-ε) (II)

где е есть фаза, или эпоха, гармонического колебания, а — амплитуда и Т — период, или продолжительность, двойного качания точки М.

На черт. 2 движение, выражаемое уравнением (I), изображено графически. От точки А по прямой At откладываются длины, пропорциональные временам t; так, длина АР изображает время Т, а длина Ар — время, в течение которого движущаяся по кругу точка перешла из С в N на черт. 1. Затем от каждой точки, такой как р, откладывают ординату рК, равную соответственному расстоянию ОМ. Построенная кривая будет синусоида; на черт. 2 изображена только часть ее, соответствующая одному полному периоду и представляющая одну волну кривой.

Два или несколько прямолинейных гармонических движений по одной и той же прямой, около того же центра, того же периода, но различных амплитуд и разных фаз, соединяются в одно простое гармоническое движение того же периода. Если а₁, а₂, а₃,... суть амплитуды составляющих гармонических движений, а ε₁, ε₂, ε₃,... — их фазы, то квадрат амплитуды составного простого гармонического движения будет равен:

α² + β²,

a тангенс фазы этого движения равен отношению β к α, где α и β суть следующие суммы:

α = a₁cosε₁ + a₂cosε₂ +....

β = a₁sinε₁ + a₂sinε₂ +....

Из соединения нескольких простых Г. движений различного периода по одной и той же прямой получаются сложные прямолинейные гармонические движения, а из соединения двух простых Г. движений, совершающихся по двум взаимно перпендикулярным или наклонным одна к другой прямым, получаются криволинейные Г. движения. На черт. 3 графически представлено сложное прямолинейное Г. движение, выражаемое уравнением:

x = sinωt + sin2ωt,

Чертеж 3

а на черт. 4 — другое сложное Г. движение, выражаемое уравнением:

x = sin2ωt + sin(3ωt + 3π/8), где ω = 2π/T.

Черт. 4

При соединении двух простых Г. движений различных соизмеримых периодов движущаяся точка описывает кривые линии, называемые кривыми Лиссажу. Полную теорию Г. движений можно найти в "Treatise on natural philosophy by Thomson and Tait" (Vol. I. Part I, kinematics).

Гармоническое отношение. Понятие о Г. отношении введено древними геометрами. Папп в своей книге "Математический сборник" говорит, что три числа находятся в Г. отношении, если отношение первого к третьему равно отношению разности первого без второго и третьего; такое отношение названо Г. потому, что оно встречалось в теории музыки древних.

Две точки a и а₁ делят длину bc в Г. отношении, если длины ас, аа₁ и ab находятся в Г. отношении, т. е.:

ac/ab = (ac — aa₁)/(aa₁ — ab), или

ac/ab = -(ac — aa₁)/(ab — aa₁) (III)

или

ab/ac : a₁b/a₁c = — 1.

Гармоническому отношению между тремя длинами ас, аа₁, ab можно придать еще следующий вид:

2/aa₁ = 1/ab + 1/ac

что нетрудно получить из (III). Г. отношение играет важную роль в высшей геометрии; см. Chasles "Traité de géometrie supérieure".

Гармонические сферические функции. Под именем spherical harmonie functions английские физико-математики подразумевают однородные функции V от х, y, z, удовлетворяющие дифференциальному уравнению:

d²V/dx² + d²V/dy² + d²V/dz² = 0

См. Сферические функции.

Д. Б.

Гармонические движения отдельной частицы происходят под влиянием силы, направленной к положению равновесия частицы и изменяющейся прямо пропорционально расстоянию ее от него. Подобного рода силы возникают при растяжении, сжатии, сгибании упругих тел, при отклонении гибкой натянутой струны из ее положения равновесия и во многих подобных случаях. Поэтому гармоническое движение встречается в природе очень часто: все звуковые колебания, каковы колебания камертонов, струн и т. п. представляют гармоническое движение. Качания маятника при малых размахах, сравнительно с длиной его, происходят по тем же законам. Вследствие пропорциональности движущей силы расстояниям тела от положения равновесия гармоническое движение обладает замечательным свойством — изохронностью колебаний, т. е. продолжительность периода движения одинакова и при больших и при малых амплитудах колебания. По этой причине одно и то же звучащее тело (камертон, струна и т. п.) издают всегда тон одной и той же высоты, хотя и различной силы (тихий или громкий) в зависимости от силы удара. Продолжительность периода гармонического колебания (Т) зависит исключительно от ускорения (k) на расстоянии единицы длины (1 см) от положения равновесия движущихся частиц, именно

T = 2π : √k

Ускорение же движения пропорционально двигающей силе и обратно пропорционально двигаемой массе. Этим и пользуются на практике: при настройке музыкальных инструментов изменяют натяжение струн; для изменения скорости хода карманных часов изменяют длину пружинки маятника и т. д.

Ф. д. Ф.