Симпсона формула

Си́мпсона формула

Формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид:

,

где h = (b — а)/2n; f_i, = f (a + ih), i = 0, 1, 2,..., 2n. С. ф. называют иногда формулой парабол, т. к. вывод этой формулы основан на замене подынтегральной функции f (x) на каждом из отрезков [a + 2hk, а + 2h (k + 1)], k = 0, 1,..., n — 1, соответствующим интерполяционным многочленом второй степени (см. Интерполяционные формулы); геометрически это означает, что кривая, описываемая уравнением у = f (x), заменяется близкой к ней кривой, состоящей из отрезков парабол. Погрешность, возникающая в результате применения С. ф., равна

,

где а ≤ ξ ≤ b. Если подынтегральная функция f (x) — многочлен степени m ≤ 3, то С. ф. является не приближённой, а точной, так как в этом случае f ^IV (x) ≡ 0.

С. ф. названа по имени Т. Симпсона, получившего её в 1743, хотя эта формула была известна ранее, например Дж. Грегори (1668).

О других формулах для приближённого вычисления определённых интегралов см. в ст. Приближённое интегрирование.