Кручение

I

Круче́ние (в сопротивлении материалов)

вид деформации, характеризующийся взаимным поворотом поперечных сечений стержня, вала и т. д. под влиянием моментов (пар сил), действующих в этих сечениях. Поперечные сечения круглых стержней (валов) при К. остаются плоскими; при К. призматических стержней происходит т. н. депланация сечения (последнее не будет плоским). Если депланация в разных сечениях различна, то наряду с касательными напряжениями в поперечных сечениях стержня возникают также нормальные напряжения. В этом случае К. называется стеснённым. При свободном К. (когда депланация во всех сечениях одинакова) в поперечном сечении возникают только касательные напряжения.

Наиболее часто встречающимся в практике случаем является К. круглого прямого стержня (рис. 1). В результате действия крутящего момента Мк в поперечных сечениях стержня возникают касательные напряжения τ, а сечения стержня (расстояние между которыми равно l) поворачиваются одно относительно другого на угол закручивания φ. Угол закручивания на единицу длины стержня называют относительным углом закручивания θ. При свободном К. в упругой стадии относительный угол закручивания и наибольшие касательные напряжения τ_max определяются по формулам:

, ,

где G — модуль упругости при сдвиге; I_к и W_к — условный момент инерции и момент сопротивления при К. В круглых сечениях I_к представляет собой полярный момент инерции I_p =πr⁴/2, а W_к — полярный момент сопротивления W_p =πr³/2. Для прямоугольных сечений с большей стороной h и меньшей b: I_k = αhb³, W_k = βhb², где коэффициенты α и β определяются в зависимости от отношения ^h/_b по таблицам. Для узких сечений ^h/_b ≥ 10) можно принимать а = β —¹/₃.

При К. круглого вала в упругой стадии касательного напряжения распределяются в поперечном сечении по линейному закону (рис. 2, а) и определяются по формуле где ρ — расстояние от оси вала до рассматриваемой точки сечения. В упруго-пластической стадии касательные напряжения при К., соответствующие пределу текучести τ_т, распространяются от поверхности к оси вала (рис. 2, б). В предельном состоянии (См. Предельное состояние) пластическая зона распределяется до оси вала (рис. 2, в), при этом предельный крутящий момент для круглого сечения:

М_пред = (τ_тπr ³)

Понятие К. распространяется также и на действие внутренних касательных сил, возникающих при деформации пластинок (См. Пластинки) и оболочек (См. Оболочка).

Лит.: Беляев Н. М., Сопротивление материалов, 12 изд.. М., 1959; Курс сопротивления материалов, 5 изд., ч. 1, М., 1961; Новожилов В. В., Теория упругости, Л., 1958.

Л. В. Касабьян.

Рис. 1. Кручение круглого вала, защемленного одним концом.

Рис. 2. Распределение касательных напряжений в сечении круглого вала: а — в упругой стадии, б — в упруго-пластической, в — в пластической.

II

Круче́ние (матем.)

вторая кривизна, мера отклонения пространственной кривой от соприкасающейся плоскости (См. Соприкасающаяся плоскость). К. в точке М кривой определяется следующим образом. Пусть N — переменная точка кривой, достаточно близкая к М, β — острый угол между соприкасающимися плоскостями в М и N. Угол β считается положительным, если при стремлении точки N к М наблюдатель, глядя из М в N, будет видеть вращение переменной соприкасающейся плоскости против часовой стрелки; в противном случае угол β считается отрицательным. Предел отношения β/Δs, где Δs — длина дуги MN, при неограниченном приближении точки N к М называют кручением σ кривой в точке М:

.

См. также Дифференциальная геометрия, Кривизна.