Кратный интеграл

Кра́тный интегра́л

Интеграл от функции, заданной в какой-либо области на плоскости, в трёхмерном или n-мерном пространстве. Среди К. и. различают двойные интегралы, тройные интегралы и т. д. n-кратные интегралы.

Пусть функция f (x, y) задана в некоторой области D плоскости хОу. Разобьем область D на n частичных областей d_i, площади которых равны s_i, выберем в каждой области d_i точку (ξ_i, η_i) (см. рис.) и составим интегральную сумму

.

Если при неограниченном уменьшении максимального диаметра частичных областей d_i суммы S имеют предел независимо от выбора точек (ξ_i, η_i), то этот предел называют двойным интегралом от функции f (x, у) по области D и обозначают

.

Аналогично определяется тройной интеграл и вообще n-кратный интеграл.

Для существования двойного интеграла достаточно, например, чтобы область D была замкнутой квадрируемой областью (См. Квадрируемая область), а функция f (x, y) была непрерывна в D. К. и. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам простых Интегралов. Для вычисления К. и. обычно приводят его к повторному интегралу (См. Повторный интеграл). В специальных случаях для сведения К. и. к интегралам меньшей размерности могут служить Грина формулы и Остроградского формула. К. и. имеют обширные применения: с их помощью выражаются объёмы тел, их массы, статические моменты, моменты инерции и т. п.

Лит. см. при статьях Интегральное исчисление, Интеграл.

Рис. к ст. Кратный интеграл.