Кватернион
Исчисление К., основанное Вильямом-Ровэном Гамильтоном (см.), представляет собою теорию векторов (см.), основанную на выражении вектора тричленом вида xi + yj + zk, в котором x, y, z суть величины проекций вектора на ортогональные оси координат, а i, j, k — символы, обозначающие мнимые величины особого рода, обладающие следующими свойствами:
A) Квадраты их равны минус единице, т. е. i2= -1, j2= -1, k2= -1.
B) Произведение двух из них равно третьей, взятой со знаком + или -, в зависимости от порядка множителей, а именно:
ij = k, ji = -k
jk = i, kj = -i
ki = j, ik = -j.
Алгебраические действия сложения и вычитания над такими выражениями векторов дают выражения геометрической суммы и геометрической разности (см.) векторов, а через умножение вектора α = xi + yj + zk на другой вектор α1 = х1i + y1j + z1k получается на основании свойств А и B следующее выражение:
s + fi + gj + hk..... (С)
в котором:
s = -(хх1 + yy1 + zz1)
f = yz1 — zy1
g = zx1 — xz1
h = xy1 - yx1
Означим через r и r, длины обоих векторов, через Θ угол между их направлениями; представим себе, что оба вектора проведены из начала координат и что из него восстановлен перпендикуляр в такую сторону, чтобы наблюдателю, стоящему в начале координат, головою по направлению перпендикуляра, вращение направления r на угол Θ до совмещения с направлением r1 казалось бы совершающимся справа налево. Означим через l, m, n косинусы углов, составляемых направлением вышесказанного перпендикуляра с осями координат.
Известно, что хх1 + yy1 + zz1 = rr1cosΘ и что
f = -lrr1sinΘ
g = -mrr1sinΘ
h = -nrr1sinΘ
поэтому
αα1 = -rr1cosΘ — λrr1sinΘ, где
λ = li+ mj + nk.
Следовательно, произведение αα1 есть четырехчленное выражение, первый член которого есть отрицательно взятое геометрическое произведение (rr1cosΘ) обоих векторов, а сумма остальных трех членов есть выражение вектора, изображающего линейный момент вокруг начала координат вектора r1, отложенного от конца вектора r. Четырехчленное выражение вида (С) назвал Гамильтон К.; первый, невекториальный член s кватерниона наз. scalar, сумма остальных трех членов наз. вектором. В учении о К. рассматриваются различные действия над К. и делается применение теории их к геометрии, механике и математической физике. Ср. W. R. Hamilton, "Elemente der Quaternionen" (нем. излож. Paul Glan, Лпц., 1882); Tait, "An Elementary Treatise on Quaternions"; P. Kelland and P. G. Tait, "Introduction to Quaternions".
Д. Б.
Значения в других словарях
- кватернион — КВАТЕРНИОН а, м. quaternion m., нем. Quaternionen.<�лат. quaterni по четыре. мат. Гиперкомплексные числа — более общая, чем комплексныя числа, система чисел, содержащая четыре единицы, для которых справедливы все основные законы действий... Словарь галлицизмов русского языка
- Кватернион — Гиперкомплексное число, геометрически реализуемое в четырехмерном пространстве. Система К. предложена в 1843 У. Гамильтоном (W. Hamilton). Математическая энциклопедия
- кватернион — орф. кватернион, -а Орфографический словарь Лопатина
- кватернион — кватернион , -а Орфографический словарь. Одно Н или два?
- КВАТЕРНИОН — КВАТЕРНИОН (от лат. quaterni — по четыре) — обобщение понятия комплексного числа. Кватернион имеет вид: a+bi+cj+dk, где a, b, c, d — действительные числа, а i, j, k — три специальные единицы, аналогичные мнимой единице. Большой энциклопедический словарь