Сфера

Множество Sn точек хевклидова пространства En+1, находящихся от нек-рой точки х 0 (центр С.) на постоянном расстоянии R (радиус С.), т. е. С. S0 — пара точек, С. S1 — это окружность, С. Sn при n>2 иногда наз. гиперсферой. Объем С. Sn (длина при п=1, поверхность при n=2) вычисляется по формуле в частности, Уравнение С. Sn в декартовых прямоугольных координатах в Е n+1 имеет вид (здесь — координаты х, х0 соответственно), т. е. С.- (гипер)квадрика, или поверхность второго порядка специального вида. Положение какой-либо точки в пространстве относительно С. характеризуется степенью точки. Совокупность всех С., относительно к-рых данная точка имеет одинаковую степень, составляет сеть С. Совокупность всех С., относительно к-рых точки нек-рой прямой (радикальной оси) имеют одинаковую степень (различную для различных точек), составляет связку С. Совокупность всех С., относительно к-рых точки нек-рой плоскости (радикальной плоскости) имеют одинаковую степень (различную для разных точек), составляет пучок С. С точки зрения дифференциальной геометрии, С. Sn -риманово пространство, имеющее постоянную (гауссову при n=2 и риманову при n>2) кривизну Все геодезич. линии С. замкнутьь и имеют постоянную длину — это т. н. большие окружности, т. 2. В общем случае — для любых kи п, k>n, группы не вычислены ( см. Сфер гомотопические группы). И здесь понятие С. получает обобщение. Напр., дикая сфера — топологич. С. (см. ниже) в Е п+1, не ограничивающая области, гомеоморфной Е п+1; Милнора сфера (экзотическая С.) — многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное Sn. Топологич. пространство, гомеоморфное С., наз. топологической сферой. Одним из основных здесь является вопрос об условиях того, что нек-рое пространство является топологич. сферой. Примеры. а) Инвариантная топологич. характеристика С. Sn при n>2 не известна (1984). О случае п=1 см. Одномерное многообразие. Для того чтобы континуум был гомеоморфен С. S2, необходимо и достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежащая на нем такая линия разбивала его на две области, имеющие эту линию своей общей границей (теорема Уайлдера). б) Полное односвязное риманово пространство размерности кривизна к-рого для всех касательных двумерных плоскостей -ограничена с т. е. гомеоморфно Sn (теорема о сферe, см. Риманова геометрия). в) Односвязное замкнутое гладкое многообразие, (целые) гомологии к-рого совпадают с гомологиями Sn, гомеоморфно Sn при (при п =3 — неизвестно (1984)). Если n = 5, 6, то оно также и гомеоморфно Sn (обобщенная гипотеза Пуанкаре), при n=3, 4 гипотеза остается (1984), при диффеоморфизм не имеет места. Совершенно аналогично определяется С. Sв метрич. пространстве Однако это множество, вообще говоря, может быть устроено достаточно сложно (или может быть пустым). В нормированном пространстве Кс нормой С. наз. множество это, по существу, произвольная, вообще говоря, бесконечномерная выпуклая (гипер)поверхность, не всегда обладающая, напр., гладкостью, округлостью и т. п. полезными свойствами обычной С. Один из вариантов, применяющихся в топологии, — т. н. бесконечномерная сфера — строгий индуктивный предел последовательности вложенных сфер: другое определение: где — бесконечномерное Штифеля многообразие. Для любого i оказывается, что Приложения понятия С. чрезвычайно разнообразны. Напр., С. участвует в конструкциях новых пространств или дополнительных структур на них. Так, напр., проективное пространство можно интерпретировать как С. Sn с отождествленными диаметрально противоположными точками; С. с ручками и дырами используется в ручек теории;см. также Когомотопическая группа, Сферическое отображение. Лит.:[1] Розейфельд Б. А., Многомерные пространства, М., 1966; [2] его же. Неевклидовы пространства, М., 1969; [3]Лени П., Конкретные проблемы функционального анализа, пер. с франц., М, 19.67; [4] Введение в топологию, М., 1980; [5] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962. И. С. Шарадзе.

Источник: Математическая энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. Сфера — I Сфе́ра (от греч. spháira — шар) 1) замкнутая поверхность. 2) Область действия, пределы распространения чего-либо (например, Сфера действия тяготения). 3) Обстановка, среда, общественное окружение. См. Большая советская энциклопедия
  2. сфера — -ы, ж. 1. Шар или его внутренняя поверхность (о земном шаре, небесном своде). Земная сфера. 2. мат. Замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от центра; поверхность шара. 3. чего. Пространство, находящееся в пределах действия чего-л. Малый академический словарь
  3. СФЕРА — СФЕРА (от греч. sphaira — шар) — англ. sphere; нем. Sphare. 1. Область, пределы распространения ч.-л. 2. Общественное окружение, среда. 3. С. влияния — территория зависимой страны, к-рая фактически находится под полит, и экон. господством др. государства. Социологический словарь
  4. сфера — орф. сфера, -ы Орфографический словарь Лопатина
  5. сфера — Сфе́р/а. Морфемно-орфографический словарь
  6. сфера — СФЕРА ы, ж. sphère f. <�гр. sphaira. 1. геом. Замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра /. БАС-1. | перен. Сфер десять пролетев воздушных, Узрел вдали питейный дом. И. Наумов Ясон. // Ирои-комич. поэма 560. Словарь галлицизмов русского языка
  7. сфера — см. >> круг, область, общество Словарь синонимов Абрамова
  8. сфера — (иноск.) — круг, общество (среда) Ср. В высшем обществе и в нижних Сферах — каждый ловкий плут Грабит, грабит, грабит ближних, А грабеж ведь тот же труд. Д. Минаев. Труженики. 9. Ср. Фразеологический словарь Михельсона
  9. сфера — сущ., ж., употр. сравн. часто (нет) чего? сферы, чему? сфере, (вижу) что? сферу, чем? сферой, о чём? о сфере; мн. что? сферы, (нет) чего? сфер, чему? сферам, (вижу) что? сферы, чем? сферами, о чём? о сферах... Толковый словарь Дмитриева
  10. сфера — Заимств., вероятно, через польск. посредство, из лат. яз., где sphaera < греч. sphaira «шар, мяч, ядро». Этимологический словарь Шанского
  11. сфера — 1. область, предел распространения чего-нибудь; 2. среда, общественное окружение; 3. замкнутая поверхность, все точки которой равно удалены от центра; поверхность и внутреннее пространство шара. Большой бухгалтерский словарь
  12. СФЕРА — СФЕРА, трехмерная геометрическая фигура, образованная ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ МЕСТОМ ТОЧЕК, равно удаленных от данной точки (центра), или же поверхность, образованная вращением КРУГА вокруг его диаметра. Научно-технический словарь
  13. сфера — СФЕРА, ы, ж. 1. Область, пределы распространения чего-н. С. деятельности. С. влияния. 2. Среда, общественное окружение. В своей сфере. Высшие сферы (о правящих, аристократических кругах). Толковый словарь Ожегова
  14. сфера — СФ’ЕРА, сферы, ·жен. [·греч. sphaira-шар]. 1. То же, что шар (мат.). 2. перен. Область, место, пределы, в которых существует, действует, развивается, применяется что-нибудь (·книж. ). Толковый словарь Ушакова
  15. сфера — СФЕРА -ы; ж. [греч. sphaira — шар] 1. Шар или его внутренняя поверхность (о земном шаре; о воздушном пространстве вокруг него). Земная, небесная с. 2. Матем. Замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от центра; поверхность шара. Толковый словарь Кузнецова
  16. сфера — СФЕРА ж. греч. шар, шарообразное тело или пустота, или изображенье его на бумаге; в приложении к небесным телам: шар обращаемый на оси своей, представляющий землю нашу, или небесную твердь, с означеньем всех воображаемых кругов. Толковый словарь Даля
  17. Сфера — Поверхность шара (см.). Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
  18. сфера — Сферы, ж. [греч. sphaira – шар]. 1. То же, что шар (мат.). 2. перен. Область, место, пределы, в к-рых существует, действует, развивается, применяется что-н. (книжн.). 3. перен. Среда, общественное окружение, обстановка (книжн.). Большой словарь иностранных слов
  19. СФЕРА — СФЕРА — замкнутая поверхность, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра сферы). Отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо ее точкой (а также его длина) — называется радиусом сферы. Площадь поверхности сферы S=4?... Большой энциклопедический словарь
  20. сфера — сфера ж. 1. Замкнутая поверхность, все точки которой равно удалены от центра. || Поверхность и внутреннее пространство шара. 2. Общественное окружение, среда. 3. Пределы распространения чего-либо. Толковый словарь Ефремовой
  21. сфера — сфе́ра впервые: армилярная сфера, начиная с XVII в. (Огиенко, РФВ 66, 368). Через польск. sfera или нем. Sрhаеrе из лат. sрhаеrа от греч. σφαῖρα "шар, мяч, ядро". Этимологический словарь Макса Фасмера