Ряд

Б е с к о н е ч н а я с у м м а,- последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек-рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я да), для к-рых определено понятие предела. Простейшими примерами Р. являются следующие. Однократные числовые ряды. Пара последовательностей комплексных чисел и таких, что (1) наз. ч и с л о в ы м (о д н о к р а т н ы м) р я д о м и обозначается так: или (2) Элементы последовательности наз. ч л е н а м и р я д а, а элементы последовательности — его ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и, причем а n наз. n-м членом Р. (2), a sn- его частичной суммой порядка п. Р. (2) однозначно определяется каждой из двух последовательностей и : члены последовательности получаются из членов последовательности по формуле (1), а последовательность восстанавливается по последовательности согласно формулам В этом смысле изучение Р. равносильно изучению последовательностей: для каждого утверждения о Р. можно сформулировать равносильное ему утверждение о последовательностях. Р. (2) наз. с х о д я щ и м с я, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел к-рый наз. с у м м о й Р. (2), и пишут Таким образом, обозначение (2) применяется как для самого Р., так и для его суммы. Если последовательность частичных сумм Р. (2) не имеет конечного предела, то он наз. р а с х о д я щ и м с я. Примером сходящегося Р. является сумма членов бесконечной геометрич. прогрессии (3) при условии, что . В этом случае ее сумма равна , то есть . Если же , то Р. (3) дает пример расходящегося Р. Если Р. (2) сходится, то последовательность его членов стремится к нулю: Обратное утверждение неверно: последовательность членов гармонического ряда стремится к нулю, однако этот Р. расходится. наз. о с т а т к о м порядка пР. (2). Если Р. сходится, то каждый его остаток сходится. Если нек-рый остаток Р. сходится, то и сам Р. сходится. Если остаток порядка пР. (2) сходится и его сумма равна rn, то есть , то Если Р. (2) и ряд (4) сходятся, то сходится и ряд наз. с у м м о й рядов (2) и (3), причем его сумма равна сумме этих Р. Если Р. (2) сходится и l. — комплексное число, то ряд , наз. п р о и з в е д е н и е м Р. (2) на число l, также сходится и . Условие сходимости Р., не использующее понятие его суммы, дает Коши критерий сходимости Р. Если все члены Р. (2) являются действительными числами: , то Р. (2) наз. действительным. Важную роль в теории Р. играют действительные Р. с неотрицательными членами: (5) Для того чтобы Р. (5) сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху. Если же он расходится, то его частичные суммы стремятся к бесконечности: поэтому в этом случае пишут Для Р. с неотрицательными членами существует много различных признаков сходимости. Основными являются следующие. П р и з н а к с р а в н е н и я. Если для Р. (5) и (6) с неотрицательными членами существует такая постоянная с > 0, что то из сходимости Р. (6) следует сходимость Р. (5), а из расходимости Р. (5) — расходимость Р. (6). При применении признака сравнения для исследования сходимости заданного Р. с неотрицательными членами часто оказывается целесообразным выделить главную часть его n-го члена относительно при в виде (а — нек-рая постоянная), а в качестве Р., с к-рым сравнивается данный Р., взять ряд (7) сходящийся при a > 1 и расходящийся при Как следствие признака сравнения в случае, когда в качестве Р. сравнения взят Р. (7), получается следующее правило: если то при a > 1 и Р. (5) сходится, а при и Р. (5) расходится. Следствиями признака сравнения являются также Д'Аламбера признак и Коши признак сходимости числовых рядов с положительными членами. Для таких Р. имеются еще Бертрана признак, Гаусса признак, Ермакова признак, Куммера признак, Раабе признак. Интегральный признак сходимости дает достаточные условия сходимости Р. (5) с неотрицательными членами, образующими убывающую последовательность: п= 1, 2,. . . Пусть Р. (5) таков, что для него существует функция f определенная и убывающая при , у к-рой ее значения в целочисленных точках совпадают с членами данного ряда: f(n)=an, n=l, 2,. . . . Тогда если sn- частичные суммы, а rn — остатки ряда (5), то для них имеют место следующие оценки: и где с — нек-рая постоянная, а Поэтому Р. (5) сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл . .: Если же Р. (5) расходится, то его частичные суммы sn растут так же, как интегралы т. е. sn асимптотически равны указанным интегралам: Для Р. (5), члены к-рого образуют убывающую последовательность, имеет место т е о р е м а К о ш и: если члены Р. (5) убывают, то он сходится или расходится одновременно с рядом Необходимым условием сходимости. Р. (5) с убывающей последовательностью членов является условие (8) Пример расходящегося ряда показывает, что условие (8) не является достаточным для сходимости Р. (5) с убывающей последовательностью членов. Важный класс числовых Р. составляют абсолютно сходящиеся ряды, т. е. такие Р. (2), для к-рых сходятся ряды . Если Р. абсолютно сходится, то он просто сходится и его сумма не зависит от порядка следования слагаемых. Сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся Р. наз. у с л о в н о с х о д я щ и м и с я. Примером условно сходящегося Р. является ряд Сумма условно сходящегося Р. зависит от порядка его членов (см. Римана теорема о перестановке членов ряда): каковы бы ни были a и b принадлежащие множеству действительных чисел, дополненному бесконечностями и , можно так переставить члены любого условно сходящегося Р., членами к-рого являются действительные числа, что для частичных сумм sn полученного Р. будут иметь место равенства Таким образом, для условно сходящихся Р. не имеет места коммутативный закон сложения. Не для всех Р. оказывается справедлив и ассоциативный закон сложения: если Р. расходится, то Р., полученный из данного последовательной группировкой его членов, может сходиться, причем его сумма зависит от способа группировки членов исходного Р. Напр., ряд расходится, а ряды (1-1)+(1-1)+. . . и 1-(1-1)- (1-1) -. . ., полученные из него попарной группировкой его членов, сходятся и имеют различные суммы. Однако если Р. сходится, то, конечно, всякий Р., получающийся последовательной группировкой его членов, сходится, и его суммой является сумма данного Р., ибо последовательность частичных сумм нового Р. есть подпоследовательность частичных сумм исходного Р. Среди Р. с членами разных знаков выделяют знакочередующиеся Р., для к-рых имеется Лейбница признак сходимости. Различные признаки сходимости для произвольных числовых Р. могут быть получены с помощью Абеля преобразования сумм попарных произведений, напр. Абеля признак, Дедекинда признак, Дирихле признак, Дюбуа-Реймона признак сходимости Р. У м н о ж е н и е р я д о в. Для умножения Р. существуют различные правила. Наиболее известно правило Коши, согласно к-рому при перемножении рядов (2) и (4) сначала суммируются по конечным "диагоналям" попарные произведения а тb п, т. е. такие, у к-рых сумма индексов т+п имеет одно и то же значение: (9) и ряд , членами к-рого являются полученные суммы, наз. п р о и з в е д е н и е м д а н н ы х Р. Это правило умножения Р. подсказывается формулой умножения степенных рядов: Пусть Р. (2), (4), (9) сходятся и Если Р. (2) и (4) абсолютно сходятся, то Р. (9) также абсолютно сходится и аb=с. Если Р. (2) абсолютно сходится, а Р. (4) сходится, то сходится Р. (9) и ab=c (т е о р е м а М е р т е н с а). Если же ряды (2) и (4) условно сходятся, то Р. (9) может не сходиться; напр., ряд условно сходится, а ряд расходится. Если все три Р.-(2), (4), (9)-сходятся, то аb=с. Примером другого правила умножения Р. является суммирование сначала попарных произведений а тb п, у к-рых произведение индексов тп имеет фиксированное значение и определение произведения рядов (2) и (4) как ряда . Это правило умножения Р. подсказывается формулой умножения Дирихле рядов: Встречаются также Р., члены к-рых an занумерованы всеми целыми числами . Они обозначаются: (10) Р. (10) наз. с х о д я щ и м с я, если сходятся ряды и сумма этих Р. наз. суммой Р. (10). Числовыми Р. более сложной структуры являются кратные ряды, члены к-рых снабжены мультииндексами, где — натуральные числа, k== 1, 2, . . ., т, т=2,3, .... В теории кратных Р. рассматриваются различные типы частичных сумм: треугольные прямоугольные сферические и др. В зависимости от выбора типа частичных сумм определяется понятие суммы кратного Р. как соответствующего их предела. В случае m=2 кратный Р. наз. двойным рядом. Для кратных Р., в отличие от однократных, члены Р. уже могут не определяться заданием множества частичных сумм, т. е., вообще говоря, для того чтобы кратный Р. был определен, необходимо задать как кратную последовательность членов Р., так и множество его частичных сумм. В математич. анализе находят применение не только сходящиеся Р., но и расходящиеся. Для последних разработаны разнообразные методы суммирования. В виде сумм числовых Р. записываются многие важные иррациональные постоянные, напр.: а также значения определенных интегралов, первообразные подинтегральных функций к-рых не выражаются через элементарные функции: Функциональные ряды. ф ункциональным (о д н о к р а т н ы м) р я д о м (11) наз. пара функциональных последовательностей и , состоящих из числовых функций, определенных на нек-ром множестве Xи таких, что Как и в случае числовых Р., элементы последовательности (a п (х)}наз. ч л е н а м и Р. (11), а последовательности — его частичными суммами. Р. (11) наз. сходящимся на множестве X, если при любом фиксированном сходится числовой ряд П р и м е р. сходится на всей комплексной плоскости, а ряд только при z=0. Сумма сходящегося Р. непрерывных, напр. на нек-ром отрезке, функций не обязательно является непрерывной функцией, напр. ряд сходится на отрезке [0, 1], его члены непрерывны на этом отрезке, а сумма разрывна в точке х=1. условий, при к-рых на функциональные Р. переносятся свойства непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости конечных сумм соответственно непрерывных, дифференцируемых или интегрируемых функций, формулируется в терминах равномерной сходимости рядов (см. Равномерно сходящийся ряд). Р я д ы и з м е р и м ы х ф у н к ц и й. Пусть X — измеримое по Лебегу подмножество n-мерного евклидова пространства — мера Лебега и члены ряда (12) являются измеримыми почти всюду конечными на Xфункциями, принимающими значения из расширенной числовой прямой (т. е. наряду с действительными числами они могут принимать значения и ). Если Р. (12) сходится почти всюду на множестве X, то его сумма s(x)также является измеримой функцией и, в силу Егорова теоремы, для любого e > 0 существует такой компакт , что , а Р., членами к-рого являются сужения функций на компакте Е, сходится на нем равномерно и его суммой является — сужение суммы Р. (12) на рассматриваемом компакте. Пусть LP(X),,- пространство функций соответственно с нормой при и с нормой при . P. (12) наз. с х о д я щ и м с я в пространстве Lp(X), если последовательность его частичных сумм сходится в Lp(X)и ее предел s(x)наз. суммой Р. (12) в этом пространстве: Если Р. (12) сходится в Lp(X)и s(x)- его сумма, то существует подпоследовательность последовательности его частичных сумм, к-рая сходится к s(x)почти всюду на X. П о ч л е н н о е и н т е г р и р о в а н и е р я д о в. Обобщением теоремы о почленном интегрировании равномерно сходящихся Р. являются следующие теоремы. Т е о р е м а 1. Если существует такая суммируемая на множестве Xфункция f, что для всех m=1, 2,. . . и всех частичные суммы sn(x)P. (12) удовлетворяют неравенству Р. (12) сходится почти всюду на Xи его сумма равна s(x), то (13) Т е о р е м а 2. Если , , , и последовательность частичных сумм Р. (12) слабо сходится на множестве X к функции s(x)(т.

Источник: Математическая энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. Ряд — I бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q n +... Большая советская энциклопедия
  2. ряд — -а (с числ. 2, 3, 4: ряда), предл. в ряде и в ряду, мн. ряды, м. 1. (в ряду). Совокупность предметов, лиц, расположенных один к одному, друг за другом, в одну линию. Ряд кресел. Два ряда домов. Два ряда зубов. Малый академический словарь
  3. РЯД — РЯД — англ. гоги/line/rank; нем. Reihe. 1. В статистике — горизонтальная запись данных категорий, к-рые все имеют общую классификацию. Статист, таблица состоит из горизонтальных рядов и вертикальных колонок... Социологический словарь
  4. РЯД — РЯД (араб. силсила) – понятие, использовавшееся в классической арабо-мусульманской философии при обсуждении вопросов упорядоченности сущего, возможности его существования, причинности. Новая философская энциклопедия
  5. ряд — Ряд/. Морфемно-орфографический словарь
  6. ряд — орф. ряд, -а и (с колич. числит. 2, 3, 4) -а, предл. в ряду, мн. -ы, -ов; но: Каретный Ряд, Охотный Ряд (улицы в Москве) Орфографический словарь Лопатина
  7. ряд — См. «последовательность». Толковый переводоведческий словарь / Л.Л. Нелюбин. — 3-е изд., перераб. — М.: Флинта: Наука, 2003 Толковый переводоведческий словарь
  8. ряд — Греческое – «составляю, число». Русское «ряд» считается родственным литовскому rinda (ряд, линия), ирландскому rann (часть, стих). С другой ступенью вокализма его можно соотнести с праславянским корнем orodьje (орудие). Этимологический словарь Семёнова
  9. ряд — 1. (словообразовательный тематический) Такой ряд слов, которые идентичны по происхождению и имеют сходство в словообразовательном значении. Например: ткач, вожак, продавец, владелец, выдумщик, подписчик, точильщик, воспитатель и др. Словарь лингвистических терминов Жеребило
  10. ряд — Из ряда (из ряду — устар.) вон (выходящий) — очень отличающийся от других, выдающийся. ► Из ряда вон выходящее явление. В ряду кого-чего (устар.) — среди, в числе кого- чего-... Фразеологический словарь Волковой
  11. ряд — 1) Последовательность языковых единиц, расположенных непосредственно одна за другой. Ряд словесный (сочинительное словосочетание). 2) Место подъема языка при образовании гласных звуков, что является основой их классификации по горизонтали. Ряд задний, ряд передний, ряд средний. см. гласные звуки. Словарь лингвистических терминов Розенталя
  12. ряд — РЯД — таксов, рангом меньше, чем подсекция, объединяющий наиболее близкие виды. Ботаника. Словарь терминов
  13. ряд — Строй, линия, гряда, полоса, колонна, фаланга, цепь, шеренга, шпалеры Гряда островов Галерея общественных деятелей ср. !! разряд см. >> лавка, линия, много, разряд, степень, черта см. Словарь синонимов Абрамова
  14. ряд — сущ., м., употр. сравн. часто (нет) чего? ряда, чему? ряду, (вижу) что? ряд, чем? рядом, о чём? о ряде и в ряду; мн. что? ряды, (нет) чего? рядов, чему? рядам, (вижу) что? ряды, чем? рядами, о чём? о рядах... Толковый словарь Дмитриева
  15. ряд — Общеслав. Того же корня, что орудие, лит. rinda «ряд, линия», латышск. rist, riedu «приводить в порядок». Этимологический словарь Шанского
  16. ряд — Серия (series), таксономич. категория в ботанич. номенклатуре, занимающая промежуточное положение между секцией (подсекцией) и видом. Р.— первый надвидовой ранг. Он объединяет близкие геогр. Биологический энциклопедический словарь
  17. РЯД — РЯД, математическое выражение (сумма), получаемое путем сложения чисел ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. Таким образом, ряд 1+4+9+16+... образуется из последовательности 1, 4, 9, 16,.... Научно-технический словарь
  18. ряд — РЯД, а (у) (с числит. «два», «три», «четыре» ряда), в ряде и в ряду, мн. ряды, ов, м. 1. (в ряду). Линия ровно расположенных однородных предметов. Р. домов. Первый р. партера. Построиться в ряды. Идти рядами. В первых рядах (также перен. Толковый словарь Ожегова
  19. ряд — Договор, соглашение в древней Руси. Большой юридический словарь
  20. ряд — РЯД, ряда (с числ. Два, три, четыре: ряда), в ряде и в ряду, мн. ряды, ·муж. 1. (в ряду). Совокупность однородных предметов, расположенных в одну линию. Верхний ряд зубов. Стулья в Два ряда. «Блестящих экипажей ряд.» Некрасов. Толковый словарь Ушакова
  21. ряд — РЯД -а (с числительными: два, три, четыре ряда), предл. в ряде и в ряду; мн. ряды; м. 1. предл.: в ряду. Совокупность однородных предметов, расположенных друг за другом, в одну линию. Ровный ряд зубов. Светящиеся ряды окошек. Сажать свёклу рядами. Толковый словарь Кузнецова
  22. ряд — РЯД м. вереница, строй, предметы по одной черте, по порядку, чередом. Ряд дерев. Улица в два ряда домов. Ряды на покосе, полосы в размах косы, валы. || Воен. каждый человек в шеренге, со всеми стоящими или идущими за ним гусем (а ряд плечо с плечем назыв. Толковый словарь Даля
  23. РЯД — РЯД — договор, соглашение в Др. Руси. РЯД — бесконечный ряд, выражение члены которого a1, a2, ..., an, ... — числа (числовой ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частная сумма): Sn= a1+ a2+... Большой энциклопедический словарь
  24. ряд — ряд I м. 1. Совокупность однородных предметов, расположенных в одну линию. || Строй в одну линию; шеренга. || Люди, находящиеся в таком ряду. || Люди, животные, стоящие, двигающиеся один за другим, один подле другого. Толковый словарь Ефремовой
  25. ряд — Род. п. -а, укр. ряд, др.-русск. рядъ, ст.-слав. рѩдъ τάξις, διαδοχή (Супр.), болг. ред(ъ́т) "ряд, порядок, строка", сербохорв. ре̑д "ряд", словен. rȇd, род. п. -а "порядок, ряд, ярус", чеш. řád "порядок, класс (бот.); строй", слвц. rád, польск. Этимологический словарь Макса Фасмера