Пульверизация

На дифференцируемом многообразии М- векторное поле Wна касательном пространстве ТМ, имеющее в терминах локальных координат ( х 1,. .., х п, v1,. . ., vn).на ТМ, естественным образом связанных с локальными координатами ( х 1,. .., х п).на М, компоненты (v1,. . ., vn, f1,. .., fn), где fi=fi(x1,. . ., х n, v1,. . . , vn).- функции класса С 1, причем при фиксированных х 1,. . ., х п они являются положительно однородными функциями от v1,. . ., vn степени 2 (эти свойства Wне зависят от конкретного выбора локальных координат). Определяемая этим полем система дифференциальных уравнений эквивалентна системе дифференциальных уравнений 2-го порядка поэтому П. описывает (причем инвариантным образом, т. е. не зависящим от системы координат) систему таких уравнений на М. Важнейший случай П.- когда fi суть многочлены 2-й степени от vi: (*) В этом случае задают на М аффинную связность с нулевым тензором кручения. Обратно, для всякой аффинной связности уравнения геодезич. линий задаются нек-рой П. с fi вида (*) (причем при переходе от связности к пульверизации симметризуются по нижним индексам). Если поле W — класса С 2, то fi обязаны иметь вид (*). В общем случае W, каким бы гладким оно ни было вне нулевого сечения расслоения ТМ, не обязано быть полем класса С 2 возле этого сечения. В такой ситуации иногда говорят об обобщенной П., оставляя термин "П." только для специального случая (*). Дифференциальные уравнения для геодезических в финслеровой геометрии приводят к обобщенной П. Можно дать определение П. в инвариантных терминах, пригодное и для банаховых многообразий (см. [1]). Лит.:[1] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967. Д. В. Аносов.