Подгруппа

Подмножество Н группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G. Подмножество Нгруппы Gявляется ее подгруппой тогда и только тогда, когда: (1) H содержит произведение любых двух элементов из H, (2) H содержит вместе со всяким своим элементом hобратный к нему элемент h-1. В случае конечных и, вообще, периодич. групп проверка условия (2) является излишней. Подмножество группы G, состоящее из одного элемента 1, будет, очевидно, подгруппой, и эта П. наз. единичной П. группы G и обозначается обычно символом Е. Сама G также является своей П. Всякая П., отличная от всей группы, наз. истинной П. этой группы. Истинная П. нек-рой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе. Сама группа G и подгруппа Еназ. несобственными П. группы G, все остальные — собственными. Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) П. группы G является П. группы G. Пересечение всех П. группы G, содержащих все элементы нек-рого непустого множества М, наз. подгруппой, порожденной множеством М, и обозначается символом . Если Мсостоит из одного элемента а, то наз. циклической П. элемента а. Группа, совпадающая с одной из своих циклических П., наз. циклической группой. Теоретико-множественное объединение П., вообще говоря, не обязано являться П. Объединением подгрупп , наз. П., порожденная объединением множеств Hi. Произведение подмножеств S1 и S2 группы G есть множество, состоящее из всевозможных (различных) произведений s1s2, где , . Произведение подгрупп Н 1 Н 2 есть П. тогда и только тогда, когда H1H2=H2H1, и в этом случае произведение Н 1 Н 2 совпадает с объединением подгрупп Н 1 и H2. Гомоморфный образ П.- подгруппа. Если группа G1 изоморфна нек-рой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G1 может быть вложена в группу G. Если даны две группы и каждая из них изоморфна нек-рой истинной П. другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп. О. А. Иванова.