Отображение

Однозначное — закон, по к-рому каждому элементу нек-рого заданного множества X ставится в соответствие вполне определенный элемент другого заданного множества Y(при этом Xможет совпадать с Y). Такое соотношение между элементами и записывается в виде y=f(x), y=fx или у-у (х). Пишут также и говорит, что отображение f действует из Xв У. Множество X наз. областью определенияотображения, а множество наз. множеством значений отображения. наз. также отображением множества Xвомножество Y(или на множество Y, если ). Логически понятие "О." совпадает с понятиями функция, оператор, преобразование. порождает множество Grf=, наз. графиком отображения. Обратно, множество определяет однозначное О. если и только если для всех и существует , притом только один такой, что , тогда Два отображения f и gназ. равными, если области их определения совпадают и f(x) = g(x) для любого . В этом случае совпадают и области значений этих О. f на Xназ. постоянным, если f(x)=а для любого . Сужением отображения на подмножество наз. отображение j, заданное на множестве Аравенством ; это сужение обозначается fA. Расширением отображения (или продолжением) на множество наз. отображение F, определенное на E и удовлетворяющее равенству F(x)=f(x).для всех . Если заданы три множества X, Y, Z, на X определено отображение f со значениями в Y, а на Yзадано отображение gсо значениями в Z, то существует отображение hс областью определения X, принимающее значения в Z и определяемое равенством h(x)=g[f(x)]. Это О. наз. композицией отображении fи g, а fи gсоответствующим и отображениями, и обозначается g o f, причем порядок записи играет существенную роль (для функций действительного переменного принят термин суперпозиция). hназ. также сложным отображением, составленным из внутреннего отображения f и внешнего отображения g. Понятие сложного О. обобщается на любое конечное число составляющих О. f, определенное на X и принимающее значения в Y, порождает новое О., заданное на подмножествах множества X и имеющее в качестве значений: подмножества множества Y. Именно, если , то Множество f(A).наз. образом множества A. Если положить , то получится исходное отображение f(x), так что f(А).есть расширение отображения f(х).с множества X на множество всех подмножеств множества X, если отождествлять одноэлементное множество с элементом, его составляющим. В случае Y=X множество Аваз. инвариантным подмножеством отображения f, если , а точка хназ. неподвижным эле ментом отображения f, если f(x)=x. Инвариантные множества и неподвижные элементы играют важную роль при решении функциональных уравнений вида f(х)=а или х-f(x)=a. Каждое отображение порождает О., заданное на подмножествах множества f(X) и имеющее в качестве значений подмножества множества X. Именно, для каждого через f-1(B) обозначается множество , называемое полным прообразом множества В. Если f-1(y) для любого состоит из единственного элемента, то f-1 есть О. элемента, определенное на f(X), принимающее значения в X и называемое обратным отображением к f. Существование обратного О. эквивалентно разрешимости уравнения f(х)=у, Если множества X п Yнаделены нек-рыми свойствами, то во множестве F(X, Y).всех О. на X в Y могут быть выделены содержательные классы. Так, для частично упорядоченных множеств X и Yотображение f наз. изотопным, если x<у влечет Для комплексных плоскостей X и Y выделяется класс голоморфных О. Для топология, пространств X и Y естественным образом выделяется класс непрерывных О. этих пространств; строится развернутая теория дифференцирования отображений. Для О. скалярного аргумента и, в более общем случае, для О., определенных на пространстве с мерой, может быть введено понятие (сильной или слабой) измеримости и могут быть построены различные интегралы лебеговского типа (напр., Бохнера интеграл, Даниеля интеграл). О. наз. многозначным отображением, если нек-рым значениям x соответствуют подмножества , состоящие более чем из одного элемента. Таковы, напр., многолистные функции комплексного переменного, многозначные О. топологических пространств и др. Пит.:[1] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1065; [2]его же, Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., 2изд., М., 1968; [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2изд., М., 1081. В. И. Соболев.

Источник: Математическая энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. Отображение — (матем.) множества А в множество В, соответствие, в силу которого каждому элементу х множества А соответствует определённый элемент у = f (x) множества В, называют образом элемента х (элемент х называют прообразом элемента у). Иногда под... Большая советская энциклопедия
  2. отображение — -я, ср. 1. Действие по знач. глаг. отобразить—отображать и отобразиться—отображаться. Слово за вами, романисты, поэты и драматурги. Не отображения, не показа ждут от нас, а осмысления происшедшего и происходящего и творческого взгляда в будущее. А. Малый академический словарь
  3. отображение — Отображ/е́ни/е [й/э]. Морфемно-орфографический словарь
  4. отображение — орф. отображение, -я Орфографический словарь Лопатина
  5. отображение — ОТОБРАЖЕНИЕ -я; ср. к Отобразить — отображать и Отобразиться — отображаться. О. морской тематики в живописи. Верное, точное, адекватное о. Художественное, символическое о. О. в сознании явлений действительности. Толковый словарь Кузнецова
  6. отображение — ОТОБРАЖЕНИЕ, я, ср. 1. см. отобразить. 2. То, что отображено, изображение. Верное, точное о. Толковый словарь Ожегова
  7. отображение — ОТОБРАЖ’ЕНИЕ, отображения, ср. 1. только ед. Действие по гл. отобразить-отображать и отобразиться-отображаться. Отображение действительности. 2. То, что отображено, отображенное явление. 3. Тоже, что отражение в 5 ·знач. (филос.). Теория отражения или отображения. Толковый словарь Ушакова
  8. ОТОБРАЖЕНИЕ — ОТОБРАЖЕНИЕ (в математике) множества Х в множество Y — соответствие, в силу которого каждому элементу х множества Х соответствует определенный элемент у=f(х) множества Y, называемый образом элемента х. Напр. Большой энциклопедический словарь
  9. отображение — отображение ср. 1. Процесс действия по гл. отображать 2. Результат такого действия; образ предмета на полированной гладкой поверхности. || перен. Отпечаток в сознании явлений объективной действительности. 3. След, отзвук, отпечаток; воспроизведение (каких-либо чувств, воздействий, влияний и т.п.). Толковый словарь Ефремовой