Операционное Исчисление

Один из методов математич. анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных операторов, псевдодифференциалъных операторов и нек-рых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраич. задач. Развитие и систематич. применение О. и. началось с работ О. Хевисайда (О. Heaviside, 1892), к-рый предложил формальные правила обращения с оператором дифференцирования и решил ряд прикладных задач. Однако О. и. не получило у него математич. обоснования: оно было дано с помощью Лапласа преобразования;Я. Микусиньский (J. Mikusinski, 1953) алгебраизировал О. и., опираясь на понятие функционального кольца; наиболее общая концепция О. и. получается с помощью обобщенных функций. Простейший вариант О. и. строится следующим образом. Пусть К — совокупность функций (с действительными или комплексными значениями), заданных в области и абсолютно интегрируемых в любом конечном интервале. Сверткой функций наз. интеграл Относительно обычного сложения и операции свертки Кстановится кольцом без делителей нуля (теорема Титчмарша, 1924). Элементы поля частных Рэтого кольца наз. операторами и обозначаются ; невыполнимость деления в Ккак раз и есть источник нового понятия оператора, обобщающего понятие функции. Для выявления необходимого в О. и. различия между понятиями функции и ее значения в точке введены следующие обозначения: — функция f(t). f(t) — значение t (t).в точке t. Примеры операторов. 1) -оператор интегрирования: при этом и, в частности, это — формула Коши, обобщение к-рой на случай произвольного (нецелого) показателя служит для определения дробного интегрирования. 2). (где a — функция-константа) -числовой оператор; поскольку [а] [b] = [a, b], [a] , в то время как , то числовые операторы ведут себя как обычные числа. Таким образом, оператор является обобщением не только функции, но и числа; единицей кольца Кявляется [ 1 ]. 3) — оператор дифференцирования, обратный оператору интегрирования. Так, если функция имеет производную a'(t), то и отсюда, напр., На оператор дифференцирования s можно умножать не только дифференцируемые функции, однако результат есть уже, вообще говоря, оператор. 4) — алгебраическая производная, она распространяется на произвольные операторы обычным способом, при этом оказывается, что действие этого оператора на функции от sсовпадают с дифференцированием по s. О. и. дает удобные способы решения линейных дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными производными. Напр., решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям х(0).g0, . . ., автоматически приводится к алгебраич. уравнению и символически выражается формулой решение в обычном виде получается разложением на элементарные дроби от переменной s с последующим обратным переходом по соответствующим таблицам к функциям. Для применения О. и. к уравнениям с частными производными (а также к более общим псевдодифференциальным уравнениям) строятся дифференциальное и интегральное исчисления операторных функций, т. е. функций, значениями к-рых являются операторы: вводятся понятия непрерывности, производной, сходимости ряда, интеграла и т. таким образом, каждой функции f(t), для к-рой рассматриваемый интеграл сходится, ставится в соответствие аналитич. ция — ее преобразование Лапласа. Благодаря этому обстоятельству довольно обширный класс операторов описывается функциями одного параметра s, более того, это формальное сходство уточняется математически установлением определенного изоморфизма. Имеются различные обобщения О. и.; таково О. и. дифференциальных операторов, отличных от , напр. , к-рое основывается на функциональных кольцах с надлежащим образом определенным произведением. Лит.:[1] Д и т к и н В. А., Прудников А. П., Справочник по операционному исчислению, М., 1965; [2] Микусинский Я., Операторное исчисление, пер. с польск., М., 1956. М. И. Войцеховский. А-ОПЕРАЦИЯ, операция А, — теоретико-множественная операция, открытая П. С. Александровым [1] (см. также [2] с. 39 и [3]). Пусть — система множеств, заиндексированных всеми конечными последовательностями натуральных чисел. Множество где суммирование распространяется на все бесконечные последовательности натуральных чисел, наз. результатом A-O., примененной к системе Применение A-O. к системе интервалов числовой прямой дает множества (названные А-множествами в честь П. С. Александрова), к-рые могут не быть борелевскими (см. Дескриптивная теория множеств). A-O. сильнее операции счетного объединения и счетного пересечения и является идемпотентной. Относительно А-О. инвариантны Бэра свойство (подмножеств произвольного топологич. пространства) и измеримость по Лебегу. Лит.:[1] Александров П. С., "С. г. Acad. sci", 1916, t. 1P>2, p. 323-25; [2] его ж е, Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств, М., 1978; [3] Колмогоров А. Н., "Успехи матем. наук", I960, т. 21, в. 4, с. 275-78; [4] Суслин М. Я., "С. г. Acad. sci.", 1917, t. 164, p. 88-91; 15] Лузин Н. Н., Собр. соч., т. 2, М., 1958, с. 284; [6] Куратовский К., Топология, пер. [с англ.], т. 1, М., 1966. А.