Градиент

Одно из основных понятий векторного анализа и теории нелинейных отображений. ом скалярной функции векторного аргумента из евклидова пространства Е n наз. производная функции f(t).по векторному аргументу t, то есть n-мерный вектор с компонентами , . Существуют следующие обозначения Г. функции f(t) в точке : Г. представляет собой ковариантный вектор: компоненты Г., вычисленные в двух различных координатных системах и , связаны соотношениями: Вектор , начало к-рого помещено в точку , указывает направление наискорейшего роста функции , ортогональное линии или поверхности уровня функции , проходящей через точку . Производная функции в точке в направлении произвольного единичного вектора равна проекции Г. функции на это направление: где — угол между и . Максимум производной достигается при , т. е. в направлении Г., и равен длине Г. Понятие Г. тесно связано с понятием дифференциала функции. В случае дифференцируемости в точке вблизи то есть . Существование в точке t0 Г. функции не достаточно для справедливости формулы (2). Точка , в к-рой , наз. стационарной (критической или экстремальной) точкой функции . Такой точкой является, напр., точка локального экстремума функции и система используется для нахождения экстремальной точки t0. При вычислении значения Г. справедливы формулы: Г. есть производная в точке по объему векторной функции объема где Е — область с границей — элемент площади , а — единичный вектор внешней нормали к . Другими словами Формулы (1), (2) и перечисленные выше свойства Г. указывают на инвариантный относительно выбора системы координат характер понятия Г. В криволинейной системе координат в к-рой квадрат длины элемента компоненты Г. функции , отнесенного к ортам, касающимся координатных линий в точке х, равны где матрица — обратная к матрице . Понятие Г. для более общих векторных функций векторного аргумента вводится при помощи равенства (2), означающего, что Г. есть линейный оператор, действием к-рого на приращение аргумента получается главная линейная часть приращения вектор-функции . Напр., если есть m-мерная вектор-функция аргумента , то ее Г. в течке — Якобы матрица с компонентами причем где — m-мерный вектор, длина к-рого есть . Матрица определяется при помощи предельного перехода с любым фиксированным n-мерным вектором . В бесквнечномерном гильбертовом пространстве определение (3) равносильно определению дифференцируемости по Фреше и Г. при этом совпадает с производной Фреше. В случае, когда f(t).лежит в бесконечномерном векторном пространстве, возможны различные типы предельного перехода в (3) (см., напр., Гато производная). В теории тензорных полей, заданных в области n-мерного аффинного пространства связности, при помощи Г. описывается главная линейная часть приращения компонент тензора при соответствующем связности параллельном перенесении. Г. тензорного поля типа (p,q) есть тензор типа (p,q+1) с компонентами где — оператор абсолютного (ковариантного) дифференцирования. Понятие Г. широко применяется в различных задачах математики, механики и физики. Многие физич. поля могут быть рассматриваемы как градиентные поля (см. Потенциальное поле). Лит.:[1] Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 9 изд., М., 1965: [2] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд , М 1967. л. П. Купцов.

Источник: Математическая энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. градиент — -а, м. спец. Мера возрастания или убывания в пространстве какой-л. физической величины при перемещении на единицу длины. Температурный градиент. Градиент влажности. Градиент скорости ветра. [От лат. gradiens, gradientis — шагающий] Малый академический словарь
  2. градиент — Градие́нт/. Морфемно-орфографический словарь
  3. Градиент — I Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis —шагающий) Вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (см. Поля теория). Большая советская энциклопедия
  4. градиент — орф. градиент, -а Орфографический словарь Лопатина
  5. градиент — ГРАДИЕНТ а, м. gradient m., лат. gradiens. Мера возрастания или убывания в пространстве какой-л. физической величины при перемещении на единицу длины. БАС-2. — Лекс. Брокг.: градиент; Уш. 1935: градиент; БСЭ-2: градиентный ветер; БСЭ-3: градиентометр, градиентность. Сл. 1948. Словарь галлицизмов русского языка
  6. градиент — (от лат. gradiens — шагающий) в развитии животных организмов, закономерное количеств, изменение морфологич. или физиол. свойств вдоль одной из осей яйца, зародыша или органа, а также взрослого организма. Напр. Биологический энциклопедический словарь
  7. градиент — (в фотопроцессах) мера изменения (возрастание или убывание) кривой характеристики фотоматериала, изображения на оригинале или оттиске на любом ее участке (при перемещении на одну единицу). Толковый словарь по полиграфии
  8. Градиент — (лат. gradiens, gradientis шагающий, движущийся) в биологии — величина, отражающая количественное изменение каких-либо морфологических или функциональных (в т. ч. физико-химических) свойств вдоль одной из осей тела, органа или клетки. Медицинская энциклопедия
  9. градиент — ГРАДИЕНТ -а; м. [от лат. gradiens (gradientis) — шагающий] Спец. Мера возрастания или убывания в пространстве какой-л. физической величины при перемещении на единицу длины. Температурный г. Г. влажности. Г. скорости ветра. ◁ Градиентный, -ая, -ое. Толковый словарь Кузнецова
  10. градиент — Градиента, м. [от латин. gradiens – восходящий] (науч.). Изменение какой-н. величины на какую-н. единицу длины. Большой словарь иностранных слов
  11. градиент — ГРАДИ’ЕНТ, градиента, ·муж. (от ·лат. gradiens — восходящий) (научн.). Изменение какой-нибудь величины на какую-нибудь единицу длины. Толковый словарь Ушакова
  12. градиент — градиент м. Мера возрастания или убывания в пространстве какой-либо физической величины при перемещении на единицу длины (в физике). Толковый словарь Ефремовой
  13. ГРАДИЕНТ — ГРАДИЕНТ (от лат. gradiens — шагающий) — вектор g, показывающий направление наискорейшего изменения данного скалярного поля ? (Р) — где Р — точка пространства, обозначается g = grad ? (Р). Примеры: градиент температуры, градиент давления, градиент потенциала. Большой энциклопедический словарь
  14. Градиент — Барометрический и термометрический. — Барометрическим градиентом называют разность в показаниях барометров (приведенных к уровню моря) в двух местах, лежащих по тому направлению, по которому в данный момент упругость воздуха убывает всего быстрее, т. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона