Дифференциал

Главная линейная часть приращения функции.1) Действительная функция y = f{x )действительного переменного наз. дифференцируемой в точке х, если она определена в нек-рой окрестности этой точки и если существует такое число А, что приращение (при условии, что точка х+Ах лежит в упомянутой окрестности) может быть представлено в виде где при При этом А Ах обозначается через dy и наз. дифференциалом функции f(х)в точке х. Д. dy при фиксированном хпропорционален Ах, т. е. является линейной функцией от D х. Дополнительный член a при является, в силу определения, бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с D х (и по сравнению с dy, если ). Именно в этом смысле Д. и наз. главной частью приращения функции. Для функции, дифференцируемой в точке х, при , т. е. функция, дифференцируемая в некоторой точке, непрерывна в ней. Функция f(x)дифференцируема в точке хв том и только в том случае, если она имеет в этой точке конечную производную при этом Существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции. Кроме обозначения dy используется обозначение df(x);тогда предыдущее равенство принимает вид Приращение аргумента Ах обозначается также через dx и наз. дифференциалом независимого переменного. Поэтому можно писать Отсюда f(x)=dyldx, т. е. производная равна отношению Д. dy и dx. Если А=0, то при Dx->0, т. е. Ау и dy при являются в случае А неравно 0 эквивалентными бесконечно малыми; этим, рав, но как и простой структурой Д. (линейностью по Ах), часто пользуются в приближенных вычислениях, полагая Dy=dy при малых D х. Если хотят, напр., вычислить f(x+Dx), зная f{x)(Dxмало), то полагают Конечно, такое рассуждение имеет ценность, если можно оценить соответствующую погрешность. Геометр и чес к ое истолкование Д. Уравнение касательной к графику .функции y=f(x)в точке М( х 0, у 0). имеет вид y-y0=f '( х 0)( х-х 0). Если положить x=x0+D х, то y-y0=f'( х 0)D х. Правая часть есть значение Д. функции f(x)в точке х 0, отвечающее рассматриваемому значению Ах. Таким образом, Д. совпадает с соответствующим, приращением ординаты касательной к кривой y-f(x)(см. отрезок NT на рис. 1). При этом a= Dу-dy, т. е. значение |a| совпадает с длиной отрезка TS.2) Определение дифференцируемости и Д. естественным образом обобщается на действительные функции от пдействительных переменных. Напр., в случ. п=2 действительная функция z=f(x, у)наз. дифференцируемой в точке ( х, у )по совокупности переменных хи у, если она определена в нек-рой окрестности этой точки и ее полное приращение может быть представлено в виде где Аи В- некоторые числа, при r=предполагается, что точка ( х+D х, у+Dy). принадлежит упомянутой окрестности (см. рис. 2) При этом вводится обозначение и dz наз. полным дифференциалом, или просто дифференциалом, функции f(x,у). в точке ( х, у )(иногда с добавлением: "по совокупности переменных хи у"). Для фиксированной точки ( х, у )Д. dz есть линейная функция от Ах и Ау;разность а= Az-dz есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с р. В этом смысле dz есть главная линейная часть приращения Az. Если f(x, у )дифференцируема в точке ( х, у), то oн непрерывна в этой точке и имеет в ней конечные частные производные Таким образом Приращения Ах и Ау независимых переменных, как и в случае одного переменного, обозначаются dx и dу По этой причине можно написать Существование конечных частных производных, во обще говоря, не влечет дифференцируемости функции (даже если предполагать заранее ее непрерывность) здесь нарушается аналогия с функциями одного переменного. Если функция f(x, у )имеет в точке ( х, у )частную производную по х, то произведение fx(x, y)dx наз. частным дифференциалом по х;аналогично, f'y(x, y)dy есть частный Д. по у. Если функция дифференцируема, то ее полный Д. равен сумме частных Д. Геометрически полный Д. df(x0, у 0 )есть приращение аппликаты касательной плоскости поверхности z-f(x, у )в точке ( х 0, у 0, z0), где z0=f(z0, у 0 )(см. рис. 3). Достаточный признак дифференцируемости функции: если в некоторой окрестности точки (x0, y0) функция f(x, у) име ет частную производную f'x , непрерывную в точке ( х 0, у 0), и, кроме того, имеет в точке ( х 0, у 0 )частную производную f'y, то f(x, у )дифференцируема в этой точке Если функция f(x, у )дифференцируема в каждо точке открытой области D, то в любой точке этой области причем ( х, y) = fx(x, у), В( х, y) = f'y(x, у). Если при этом существуют непрерывные в Dчастные производные А' у и В' х, то всюду Это показывает, в частности, что не всякое выражение с непрерывными А и В (вобласти D)является в этой области полным Д. нек-рой функции двух переменных. В этом состоит еще одно нарушение аналогии с функциями одного переменного, где любое выражение A(x)dx с непрерывной в нек-ром промежутке функцией (х). служит Д. для нек-рой функции. Выражение Adx+Bdy является полным Д. нек-рой функции z=f(x, у), в односвязной открытой области D, если ( х, у )и В( х, у )непрерывны в этой области и удовлетворяют условию А' =В' Х и при этом а) А'y и В' х непрерывны или б) ( х, у) и В( х, у) дифференцируемы по совокупности переменных хи увсюду в D(см. [7], [8]). О Д. действительных функций одного или нескольких действительных переменных и о Д. высших порядков см. также ьное исчисление.3) Пусть функция f(x)определена на нек-ром множестве Едействительных чисел, х- предельная точка этого множества, Dy=АDx+a, где при ; тогда функция f(x)наз. дифференцируемой по множеству Ев точке х,a dy=AD х наз. ее дифференциалом" по множеству Еточке х. Это есть обобщение Д. действительной функции одного действительного переменного. Разновидностями этого обобщения являются Д. в концах промежутка, на котором определена функция, и аппроксимативный Д. (см. Аппроксимативная дифференцируемоетъ). Подобным же образом вводится Д. по множеству для действительных функций многих действительных переменных.4) Все эти определения дифференцируемости и Д. почти без изменений распространяются соответственно на комплексные функции одного или нескольких действительных переменных, на действительные и комплексные вектор-функции одного или нескольких действительных переменных, на комплексные функции и вектор-функции одного или нескольких комплексных переменных. В функциональном анализе они распространяются на функции точки абстрактного пространства. Можно говорить о дифференцируемости и Д. функции множества по отношению к нек-рой мере. Лит.:[1] Толстов Г. П., Элементы математического анализа, 2 изд., т. 1 — 2, М., 1974; [2] Фихтенгольц Г. М., Куре дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т.1, М., 1969; [3] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973; [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975; [5] Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; [6] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; [7] Толстов Г. П., О криволинейном и повторном интеграле, М.-Л., 1950 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 35); [8] его же, "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 5, с. 167-70. Г. В. Толстое.