прослывать — Орфографический словарь Лопатина

прослывать — ПРОСЛЫВ’АТЬ, прослываю, прослываешь. ·несовер. к прослыть. Самоуверенные люди нередко прослывают умниками. Толковый словарь Ушакова
прослывать — ПРОСЛЫВАТЬ, прослыть как или чем, слыть, стать известным, по добру или по худу, заслужить славу, мнение общества. И дураки прослывают разумниками. Как поживешь, так и прослывешь (или послывешь). Прослыли валдайские баранки на весь белый свет!... Толковый словарь Даля
прослывать — прослывать несов. неперех. Заслуживать какую-либо репутацию, становиться известным по каким-либо качествам. Толковый словарь Ефремовой