Синусоидальные спирали

Синусоида́льные спира́ли

Синус-спирали, кривые, уравнения которых в полярной системе координат имеют вид

, (*)

где n — рациональное число. Частными случаями С. с. являются окружность, прямая, равнобочная гипербола, лемниската, кардиоида, парабола (см. Линия)

(соответственно при n = 1, —1, —2, 2, ). Логарифмическую спираль можно рассматривать как некоторый предельный случай С. с. при n = 0 [хотя уравнение (*) теряет при этом смысл], разделяющей С. с., лежащие в конечной части плоскости, от С. с., имеющих бесконечные ветви. Проекция центра кривизны любой точки С. с. на радиус-вектор этой точки делит его в отношении n: 1 (считая от полюса). При равномерном вращении радиус-вектора С. с. вокруг полюса касательная равномерно вращается вокруг точки касания. Поэтому С. с. называются также кривыми пропорционального изгиба. При натуральном n С. с. состоит из n лепестков, лежащих в углах

, 0 ≤ k ≤ n

касаясь в начале координат сторон угла. Углы

, 0 ≤ k ≤ n

не содержат точек С. с., отличных от начала координат. Если вписать в круг радиуса а^.2^-1/n правильный n-угольник P₁, P₂,..., Р_п, то множество точек, произведение расстояний которых до точек P₁, P₂,..., Р_п равно aⁿ/2, является С. с. Площадь одного лепестка С. с. равна

,

а периметр равен

где Γ(х) — Гамма-функция. При натуральном n С. с. имеет n осей симметрии. Если n = 1/q, то кривая симметрична относительно полярной оси, причём каждая из половин кривой имеет вид спирали, начинающейся в точке r = а, φ = π/2 и после оборота на угол qπ/2 приходящей в полюс. С. с. при n = p/q является алгебраической кривой (см. Алгебраическая геометрия), обладающей р осями симметрии, наклоненными к вертикальной оси под углами 2πqk/p, 0 ≤ k < p. Изучение С. с. с отрицательными значениями п сводится к изучению С. с. с положительными п при помощи преобразования инверсии. С. с. применяются в некоторых вопросах механики, геодезии и др.